Diskrete Fouriertransformation < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:08 So 06.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo an alle!
Ich habe einige Probleme mit der diskreten Fouriertransformation. Seien äquidistante Punkte $t_0,t_1,...,t_n$ im Zeitabstand $\Delta t$ sowie die Werte $x(t_n), 0\leq n\leq N$ eines Signales $x(t)$ gegeben, so kann das Fourier-Integral $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \omega} dx$ durch die Summe $\Delta t\summe_{n=0}^{N}{f(n\Delta t)e^{-2\pi i n\Delta t \omega}$ angenähert werden. Lässt man als Frequenzen nur die diskreten Werte $\omega_m=\frac{m}{N\Delta t}$ zu, so ergibt sich die Funktion $F\left(\frac{m}{N\Delta t}\right)=\Delta t\summe_{n=0}^{N} f(n\Delta t) e^{\frac{-2\pi i m n}{M}}$.
Für die Rücktransformation kann das Integral $\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{2\pi i \omega x} d\omega$ durch die Summe $\frac{1}{N\Delta t}\summe_{n=0}^{N} F\left( \frac{n}{N\Delta t}\right) e^{\frac{2\pi i x n}{N\Delta t}}$ ersetzt werden (ich denke, dass das noch stimmen sollte).
Warum ist das so? Ich verstehe nicht, warum gewährleistet ist, dass diese Summe eine gute Näherung an das Integral bei der Rücktransformation ist. Denn schließlich kann es doch sein, dass die Amplituden der Frequenzen zwischen zwei der diskreten Frequenzwerten stark von diesen abweichen, und dann ist doch nicht mehr gewährleistet, dass die Summe eine gute Näherung an der INtegral ist, so meine Überlegung.
Ich beiße mir daran leider schon länger die Zähne aus und sehe meinen Denkfehler einfach nicht. Wäre klasse, wenn es jemand schnell beantworten könnte, denn nach Möglichkeit brauche ich es schon morgen - daher auch die kurze Frist.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Do 10.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
> Für die Rücktransformation kann das Integral
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{2\pi i \omega x} d\omega[/mm]
> durch die Summe [mm]\frac{1}{N\Delta t}\summe_{n=0}^{N} F\left( \frac{n}{N\Delta t}\right) e^{\frac{2\pi i x n}{N\Delta t}}[/mm]
> ersetzt werden (ich denke, dass das noch stimmen sollte).
Ich denke nicht, dass das so stimmt. Es wir über die reelle Achse integriert, aber rechts werden in $F$ nur diskrete Werte von $0$ bis [mm] $\frac{1}{\Delta t}$ [/mm] eingesetzt. Warum? Oder hat $F$ nur dort seinen Träger (wenn ja, warum?)?
Muss es nicht vielmehr [mm] $\summe_{n \in \IZ} \ldots$ [/mm] heißen oder so?
Ich muss zugeben, dass ich da nicht viel Ahnung von habe, aber mir erscheint das ziemlich seltsam.
Ansonsten wäre es ja einfach die Approximation eines uneigentlichen Riemann-Integrals durch Riemannsche Summen, wobei man genauere Konvergenzüberlegungen noch durchführen müsste.
Vielleicht kannst du zum ersten Punkt ja mal was schreiben?
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
