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Diskrete Mathe/kombinatorik: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Di 25.04.2006
Autor: Sunny85

Aufgabe
Wir möchten möglichst viele Teilmengen von (n) (um das n sollen eigentlich  eckige Klammern stehen) auswählen, so dass je zwei der ausgewählten mengen mindestens ein Element gemeinsam haben. Was ist di größte Anzahl von Teilmengen, die wir auswählen können?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

(n) bedeutet: die Menge der Zahlen von 1,2,....,n  (formal gehören um die Zahlen geschweift Klammern). Ich glaube, das die Antwort n-1 ist, bin mir aber nicht sicher und weiß auch nicht wie ich das zeigen kann.

        
Bezug
Diskrete Mathe/kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Di 25.04.2006
Autor: DirkG

Ich gehe mal von [mm] $n\geq [/mm] 2$ aus.

Die Antwort lautet nicht $n-1$, sondern [mm] $2^{n-1}$. [/mm] Dass es nicht mehr sein können, sieht man folgendermaßen: Von zwei Teilmengen $A$ und [mm] $A^c$ [/mm] kann höchstens eine in der bewussten Teilmengenauswahl sein, denn wenn beide drin wären, hätte die Auswahl wegen [mm] $A\cap A^c=\emptyset$ [/mm] nicht mehr die geforderte Eigenschaft. Damit kann höchstens die Hälfte aller [mm] $2^n$ [/mm] Teilmengen in der Auswahl sein.

Für ungerade $n$ ist die Auswahl nun besonders einfach: Wir nehmen einfach alle Teilmengen mit Mächtigkeit [mm] $\geq \frac{n+1}{2}$. [/mm]

Für gerade $n$ ist es etwas schwieriger: Wir nehmen alle Teilmengen mit Mächtigkeit [mm] $\geq \frac{n}{2}+1$, [/mm] und von den Teilmengen mit Mächtigkeit [mm] $\frac{n}{2}$ [/mm] nehmen wir gerade die "Hälfte", und zwar so, dass nicht gleichzeitig $A$ und [mm] $A^c$ [/mm] in der Auswahl sind. Die Begründung dafür, dass das immer möglich ist, überlasse ich mal dir.


Bezug
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