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Diskrete Mathmatik: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Do 19.05.2005
Autor: fabian1983

Hallo vielleicht kann mir ja irgendein Mathegenie helfen

Aufgabe 1:

Ein Lehrer erzählt seinen Kollegen:" Meine Klasse hat 34 Schüler. 19 davon sind Jungen. 29 Schüler stehen im Schnitt 3 oder besser. Von diesen sind 16 Jungen. 27 haben Religion. Von diesen sind 17 Jungen und 15 stehen 3 oder besser. 13 Jungen stehen 3 oder besser und haben Religion"
Eine Kollegin stutzt:" Das geht doch gar nicht"

Hat sie oder er recht?



Aufgabe 2:

Bestimmen Sie: 1 <= k <= n

a) Die Anzahl der Permutationenvon n Objekten mit genau einem Fixpunkt
b) Die Anzahl der Permutation mit k Fixpunkten

Vielen Dank im Voraus!!


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:


        
Bezug
Diskrete Mathmatik: Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Do 19.05.2005
Autor: banachella

Hallo!

Der Widerspruch schleicht sich hier ein:
Der Lehrer spricht von seinen Religionsschülern und sagt

> Von diesen sind 17 Jungen und 15 stehen 3 oder
> besser.

Und dann sagt er:

> 13 Jungen stehen 3 oder besser und haben Religion"

Was nun, 13 oder 15?!

Gruß, banachella

Bezug
        
Bezug
Diskrete Mathmatik: Perm. mit k Fixpunkten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Do 19.05.2005
Autor: Julius

Hallo Fabian!

Es sei [mm] $\Omega$ [/mm] die Menge aller Permutationen von [mm] $\{1,2,\ldots,n\}$. [/mm]

Wir definieren uns:

[mm] $A_j:=\{(a_1,a_2,\ldots,a_n) \in \Omega\, : \, a_j=j\}$. [/mm]

Wegen

[mm] $|A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_r}| [/mm] = (n-r)!$

kann man mit der []Siebformel berechnen:

[mm] $\left| \bigcup\limits_{j=1}^n A_j \right| [/mm] = n! [mm] \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \cdot \frac{1}{r!}$. [/mm]

Dementsprechend ist die Anzahl der fixpunktfreien Permuationen gleich

$n! - n! [mm] \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \cdot \frac{1}{r!} [/mm] = n! [mm] \sum\limits_{r=0}^n (-1)^r \cdot \frac{1}{r!}$. [/mm]

Nun wollen wir die Anzahl der Permutationen von [mm] $1,2,\ldots,n$ [/mm] berechne, die genau $k$ Fixpunkte besitzen.

Dazu müssen wir die $k$ Fixpunkte wählen (dafür gibt es ${n [mm] \choose [/mm] k}$ Möglichkeiten) und für das $n-k$-elementige Komplement die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen bestimmen (davon gibt es, siehe oben, $(n-k)! [mm] \sum\limits_{r=0}^{n-k} (-1)^r \cdot \frac{1}{r!}$ [/mm] Stück).

Es gibt demnach:

${n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \cdot [/mm] (n-k)! [mm] \sum\limits_{r=0}^{n-k} (-1)^r \cdot \frac{1}{r!}$ [/mm]

Permutationen einer $n$-elementigen Menge mit genau $k$ Fixpunkten.

Viele Grüße
Julius



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