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Diskrete mathe: Aufgabe zu Partitionen
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:03 Mo 08.05.2006
Autor: Sunny85

Aufgabe
Man zeige, dass für alle positiven ganzen Zahlen k und n gilt:
[mm] p_{k}(n)\le(n-k+1)^k-1 [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß, das dieses pk(n) die Anzahl der Partitionen mit genau k Teilen ist. Nur leider weiß ich nicht, wie ich diese Information verwenden soll. Muss ich die Gleichung umstellen? Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei diesem Problem helfen könnte.

        
Bezug
Diskrete mathe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Mo 08.05.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Tag,

ist es richtig, dass es dabei um Mengenpartitionen der Menge [mm] \{1,\ldots n\} [/mm]
in mindestens k nicht-leere Mengen geht ?

Wenn ja:

Das erste Element  1 gehört zu einer Klasse.

Fall 1: Diese hat genau ein Element.      [mm] p_{k-1}(n-1) [/mm] Möglichkeiten

Fall 2: Diese hat mind. zwei Elemente     [mm] p_{k}(n-1) [/mm] Möglichkeiten

Also haben wir die Rekursion

[mm] p_k(n)=p_{k-1}(n-1)+p_k(n-1) [/mm]

und [mm] p_1(n)=1 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm]

Nun würd ich vielleicht zunächst versuchen, die behauptete Ungleichung induktiv  zu beweisen.

Im Induktionsschritt wäre dabei  dann sowas zu zeigen wie

[mm] ((n-1)-(k-1)+1)^{k-1}-1+((n-1)-k+1)^k-1\leq (n-k+1)^k-1, [/mm]

also

[mm] (n-k+1)^{k-1}+(n-k)^k\leq (n-k+1)^k. [/mm]

Viel Erfolg,

Mathias



Bezug
        
Bezug
Diskrete mathe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Do 11.05.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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