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Distributionentheorie: Cauchy Hauptwert
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:19 Fr 05.08.2016
Autor: Hias

Aufgabe
Der Cauchy Hauptwerte wurde in unserer Vorlesung wie folgt definiert:

[mm] $$=\int_\IR \bruch{\phi(x)-\phi(0)}{x}dx$$ [/mm]

Hallo,
ich beschäftige mich momentan mit dem Cauchy Hauptwert im Bezug zu Distributionen. In der Vorlesung wurde der CH hergeleitet und man kam auf obigen Ausdruck.
Wenn man eine Testfunktion aus [mm] $C^\infty_0$ [/mm] nimmt, also die unendlich differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger, dann ist das Integral zwar endlich, jedoch nur, da das Integral bis zu den Grenzen des kompakten Trägers ausgewertet werden muss. Wenn man das obige Integral in dieser Art interpretiert klappt das für Elemente aus [mm] $C^\infty_0$. [/mm]

Im weiteren Verlauf der Vorlesung haben wir dann die Fouriertransformation von Distributionen wie folgt definiert:
[mm] $$\phi \in [/mm] S , [mm] f\in [/mm] S' [mm] <\hat{f},\phi>:=,$$ [/mm] wobei S der Scharzraum ist.
Dabei wurde auch die Fouriertransformation von [mm] $vp\bruch{1}{x}$ [/mm] berechnet. Damit das alles klappt muss aber [mm] $vp\bruch{1}{x}$ [/mm]  zwingend in S'  liegen, jedoch wenn man in die obige Definition [mm] $\phi \in [/mm]  S$ setzt, dann sehe ich nicht, dass das Integral endlich sein sollte.
Ich benötige nur eine Schwarzfunktion wie [mm] $e^{-x^2}$, [/mm] dann macht mir der Ausdruck [mm] $\phi(0)\int_\IR \bruch{1}{x}dx$ [/mm]  Probleme.

Hat jemand eine Idee, warum das Integral für Schwarzfunktionen endlich sein sollte? Wir haben uns zu dritt das Hirn zermartert und denken, dass der CH für Schwarzfunktionen anders definiert sein müsste.
Vielen Dank im Voraus,
Hias.

        
Bezug
Distributionentheorie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 So 07.08.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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