Distributivgesetz (Beweis) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Sa 22.10.2005 | | Autor: | stak44 |
Ich soll beweisen, dass
1. [mm]A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)[/mm]
2. [mm]A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)[/mm]
Es ist das Distributivgesetz, aber ich weiß nicht, wie ich es beweisen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stak!
Die Distributivgesetze für [mm] $\subset$ [/mm] und [mm] $\supset$ [/mm] lassen sich auf die Distributivgesetze für die logischen Operatoren [mm] $\vee$ [/mm] und [mm] $\wedge$ [/mm] übertragen.
Es ist nämlich der Schnitt [mm] $A\cap [/mm] B$ definiert als die Menge der Elemente $x$, die in $A$ und in $B$ liegen, also [mm] $A\cap B:=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$. [/mm] Analog dazu ist die Vereinigung [mm] $A\cup [/mm] B$ als die Menge der $x$ definiert, die in $A$ oder $B$ liegen, also [mm] $A\cup B:=\{x|x\in A\vee x\in B\}$. [/mm]
Kombinieren wir dies, erhalten wir also
[mm] $A\cap (B\cup C)=A\cap \{x|x\in B\vee x\in C\}=\{x|x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C)\}=\{x|(x\in A\wedge x\in B)\wedge (x\in A\wedge x\in B)\}=\{x|x\in A\cap B\vee x\in A\cap C\}=(A\cap B)\cup (A\cap [/mm] C)$.
Hierbei habe ich das Distributivgesetz für [mm] $\vee$ [/mm] und [mm] $\wedge$ [/mm] verwendet.
Der Beweis der zweiten Aussage erfolgt ganz analog. Schaffst du das selbst?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Fr 26.10.2007 | | Autor: | djstevan |
| Aufgabe | Ich soll beweisen, dass
1. $ A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) $
2. $ A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) = (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) $
Es ist das Distributivgesetz, aber ich weiß nicht, wie ich es beweisen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
An sich kann man die Distribution bei diesem Beispiel anhand logischer Operationen beweisen. Aber meines Wissens nach kann man, wenn man ein Bisschen weiter verfolgt nicht wirklich beiweisen, dass das distributiv Gesetz auch auf der eben der logische Operationen auch stimmt. Da kann man nur empirische Behauptungen stellen, aber einen handfesten Beweis habe ich noch nicht gesehen. Somit ist das ding eher ein Axiom. Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Aber meines Wissens
> nach kann man, wenn man ein Bisschen weiter verfolgt nicht
> wirklich beiweisen, dass das distributiv Gesetz auch auf
> der eben der logische Operationen auch stimmt. Da kann man
> nur empirische Behauptungen stellen, aber einen handfesten
> Beweis habe ich noch nicht gesehen. Somit ist das ding eher
> ein Axiom. Oder?
Die logischen Operatoren "und" und "oder" sind über Wahrheitstabellen definiert, und über genau solche Tabellen kannst du auch das Distributivgesetz für sie beweisen:
[mm] $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
A & B & C & B \vee C & A \wedge (B \vee C) & A \wedge B & A \wedge C & (A \wedge B) \vee (A \wedge C) \\ \hline
f & f & f & f & f & f & f & f \\
f & f & w & w & f & f & f & f \\
f & w & f & w & f & f & f & f \\
f & w & w & w & f & f & f & f \\
w & f & f & f & f & f & f & f \\
w & f & w & w & w & f & w & w \\
w & w & f & w & w & w & f & w \\
w & w & w & w & w & w & w & w
\end{array}$
[/mm]
Die identischen Wahrheitswerte in der 5. und in der 8. Spalte zeigen die Behauptung.
Entsprechend geht das auch für das andere Distributivgesetz.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mo 27.09.2010 | | Autor: | anilius |
Ich habe die gleiche Aufgabe zu lösen.
Kannst du mir den Schritt erklären, wo du aus C A,B machst?
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Huhu,
Hanno hatte ein paar Tipfehler drin.
Hier mal die korrigierte Version:
$ [mm] A\cap (B\cup C)=A\cap \{x|x\in B\vee x\in C\}=\{x|x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C)\}=\{x|(x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in C)\}=\{x|x\in A\cap B\vee x\in A\cap C\}=(A\cap B)\cup (A\cap [/mm] C) $.
Jetzt klarer?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mo 27.09.2010 | | Autor: | anilius |
thx a lot ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Sa 22.10.2005 | | Autor: | stak44 |
Danke, wusste nur nicht, wire man das schreiben sollte.
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