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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:21 Di 08.04.2008 | | Autor: | jno |
| Aufgabe | Sei [mm] $\left(\Omega,\mathfrak{A},P_n\right)$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum mit [mm] $\Omega:= \IN, \mathfrak{A}:=\mathcal{P}\left(\Omega\right)$ [/mm]
[mm] $P_n(A):= \frac{1}{n} \cdot \# \{k\in \IN:1\le k\le n, k\in A\}, A\in \mathfrak{A}$, [/mm] wobei [mm] $\#$ [/mm] die Mächtigkeit der Menge bedeuten soll.
Wenn der Grenzwert $d(A):= [mm] \lim_{n\to\infty} P_n(A)$ [/mm] zu einer gegebenen Menge [mm] $A\in\mathfrak{A}$ [/mm] existiert, heißt $d$ die Dichte von $A$. Mit [mm] $\mathcal{D}$ [/mm] sei die Menge aller [mm] $A\in\mathfrak{A}$, [/mm] die eine Dichte besitzen bezeichnet.
Zeigen Sie, dass [mm] $\mathcal{D}$ [/mm] nicht abgeschlossen ist unter der Bildung von Vereinigungen von abzählbar vielen disjunkten Mengen. |
Hallo,
auf den ersten Blick hat der Titel ja nicht gerade viel mit der Aufgabenstellung zu tun, aber ich glaube, es läuft im Endeffekt darauf hinaus. Ich möchte eine Menge finden, die keine Dichte besitzt. Die dann später als abzählbare Vereinigung disjunkter Mengen darzustellen, wird nicht das Problem sein. Da [mm] $d(\Omega)=1$ [/mm] würde ich intuitiv sagen, dass ich eine alternierende Folge suche, da ich, damit die Folge gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt schon Mengen mit größerer Mächtigkeit als $n$ bräuchte, was ja nicht geht. Meine gesuchte divergente Folge sieht meiner Meinung nach so aus:
[mm] $a_n:= \frac{a_1}{1}, \frac{a_2}{2}, \frac{a_3}{3}, \frac{a_4}{4}, ...\frac{a_i}{i},... [/mm] $ mit [mm] $a_i\le a_{i+1}, a_i \le [/mm] i, [mm] a_{i+1}-a_i\le1, a_i \in \IN$. [/mm]
Hat jemand ne Idee, wie so eine Folge aussehen könnte? Habe schon alles mögliche für die Zähler der Folgenglieder ausprobiert, nur Gerade oder Ungerade oder 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5.... aber igendwie funktioniert nix :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Di 15.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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