Divergenz-Integral Vektorfeld < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Fr 27.04.2012 | | Autor: | WWatson |
| Aufgabe | Ist [mm] \overrightarrow{F} [/mm] ein Vektorfeld, definiert auf einer offenen Teilmenge
U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] mit den Komponenten [mm] \overrightarrow{F} [/mm] = [mm] (F^{1}, [/mm] ..., [mm] F^{n}), [/mm] so definieren wir dessen Divergenz [mm] div(\overrightarrow{F}) [/mm] als Funktion auf U durch
[mm] div(\overrightarrow{F}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}}
[/mm]
3. Sei [mm] \overrightarrow{F} [/mm] ein glattes Vektorfeld, definiert auf U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] und W [mm] \subset [/mm] U ein Würfel, der den Träger [mm] supp(\overrightarrow{F}) [/mm] umfasst, d.h. [mm] supp(\overrightarrow{F}) \subset [/mm] W. Beweisen Sie unter Verwendung des Satzes von Fubini
[mm] \integral_{W}^{}{div(\overrightarrow{F})} [/mm] = 0. |
Hallo zusammen,
ich bin bei der Bearbeitung dieser Aufgabe auf einige Probleme gestoßen.
Mir ist die Definition der Divergenz zunächst einmal einleuchtend, sodass ist umformen könnte gemäß
[mm] \integral_{W}^{}{div(\overrightarrow{F})} [/mm] = [mm] \integral_{W}^{}{\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}}} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \integral_{W}^{}{\bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}}}
[/mm]
und hier dann Fubini anwenden könnte, um das Integral über W nochmal in n Integrale über die jeweiligen Dimensionen aufzuteilen, also
[mm] \summe_{i=1}^{n} \integral_{W}^{}{\bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}}} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (\integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}}}})
[/mm]
, wobei eben die [mm] W_{i} [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1, ..., n} jeweils eindimensionale Würfel sind.
Allerdings bin ich hier dann auch mit meinem Latein am Ende, denn ich weiß nicht so recht, wie ich von hier aus sinnvoll weiter vorgehen könnte. Vielleicht hängt es auch damit zusammen, dass wir in der Vorlesung nicht definiert haben, was der "Träger" eines Vektorfeldes ist.
Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
Gruß,
WWatson
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Fr 27.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ist [mm]\overrightarrow{F}[/mm] ein Vektorfeld, definiert auf einer offenen Teilmenge
> [mm]U \subset \IR^{n}[/mm] mit den Komponenten [mm]\overrightarrow{F} = (F^{1},[/mm] ..., [mm]F^{n}),[/mm] so definieren wir dessen Divergenz
> [mm]div(\overrightarrow{F})[/mm] als Funktion auf U durch
>
> [mm]div(\overrightarrow{F}) = \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}}[/mm]
>
> 3. Sei [mm]\overrightarrow{F}[/mm] ein glattes Vektorfeld, definiert
> auf [mm]U \subset \IR^{n}[/mm] und [mm]W \subset U[/mm] ein Würfel, der den
> Träger [mm]supp(\overrightarrow{F})[/mm] umfasst, d.h.
> [mm]supp(\overrightarrow{F}) \subset W[/mm]. Beweisen Sie unter
> Verwendung des Satzes von Fubini
>
> [mm]\integral_{W}^{}{div(\overrightarrow{F})}[/mm] = 0.
> Hallo zusammen,
>
> ich bin bei der Bearbeitung dieser Aufgabe auf einige
> Probleme gestoßen.
> Mir ist die Definition der Divergenz zunächst einmal
> einleuchtend, sodass ist umformen könnte gemäß
>
> [mm]\integral_{W}^{}{div(\overrightarrow{F})} = \integral_{W}^{}{\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}}} = \summe_{i=1}^{n} \integral_{W}^{}{\bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}}}[/mm]
>
> und hier dann Fubini anwenden könnte, um das Integral
> über W nochmal in n Integrale über die jeweiligen
> Dimensionen aufzuteilen, also
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \integral_{W}^{}{\bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}}} = \summe_{i=1}^{n} (\integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}}}})[/mm]
>
> , wobei eben die [mm]W_{i}[/mm] für i [mm]\in[/mm] {1, ..., n} jeweils
> eindimensionale Würfel sind.
Ein eindimensionaler Würfel ist eine gerade Strecke.
> Allerdings bin ich hier dann auch mit meinem Latein am
> Ende, denn ich weiß nicht so recht, wie ich von hier aus
> sinnvoll weiter vorgehen könnte.
Tipp: Versuchs doch erstmal mit dem einfachsten Fall $n=2$, denn du dir leicht aufmalen kannst.
Allgemein gilt:
Die Divergenz ist unabhängig vom Koordinatensystem. Daher kann man o.B.d.A. annehmen, dass die Kanten des Würfels parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Deine Integrale über [mm]W_{i}[/mm] sind damit nichts anderes als gewöhnliche Integrale über [mm] $x_i$. [/mm] Was ist also
[mm] \integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}} [/mm] ?
> Vielleicht hängt es auch
> damit zusammen, dass wir in der Vorlesung nicht definiert
> haben, was der "Träger" eines Vektorfeldes ist.
Der Träger einer Funktion besteht aus denjenigen Punkten ihres Definitionsbereichs, für die der Funktionswert nicht 0 ist, d.h. für alle Punkte außerhalb des Trägers ist die Funktion 0.
Das heißt insbesondere, dass [mm] $\vec{F}$ [/mm] außerhalb des Würfels Null ist. Überleg dir mal, was das für die Funktionswerte auf den Randflächen des Würfels bedeutet.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Sa 28.04.2012 | | Autor: | WWatson |
Hallo Rainer,
vielen Dank für Deine Antwort!
OK, also könnte man doch sagen, dass
[mm] \integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}} [/mm] = [mm] \integral_{a_{1}}^{b_{1}}{...}{\integral_{a_{n}}^{b_{n}}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}}
[/mm]
gilt, oder? Jetzt ist es ja so, dass sukzessive über die [mm] dx^{1} [/mm] ... [mm] dx^{n} [/mm] integriert wird. Dabei entstehen ja eigentlich immer nur Konstanten, bis auf die Integration über gerade das [mm] dx^{i}. [/mm] Bei dieser Integration entsteht ja dann eigentlich gerade wieder die Funktion [mm] F^{i}. [/mm] Dann folgt also mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
[mm] \integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}} [/mm] = A * [mm] (F^{i} (b_{i}) [/mm] - [mm] F^{i} (a_{i})) [/mm]
für eine Konstante A [mm] \in \IR. [/mm] Und daraus folgt jetzt mit der Voraussetzung, dass W den Träger enthält und dass [mm] b_{i} [/mm] und [mm] a_{i} [/mm] ja gerade die Randpunkte des Würfels in der i-ten Dimension sind, dass
A * [mm] (F^{i} (b_{i}) [/mm] - [mm] F^{i} (a_{i})) [/mm] = A * 0 = 0.
Und da dies ja für [mm] \bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1, ..., n} gilt, folgt die Behauptung.
Ist das so in etwa der richtige Gedankengang?
Gruß,
WWatson
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Sa 28.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> vielen Dank für Deine Antwort!
>
> OK, also könnte man doch sagen, dass
>
> [mm]\integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{a_{1}}^{b_{1}}{...}{\integral_{a_{n}}^{b_{n}}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}}[/mm]
>
> gilt, oder? Jetzt ist es ja so, dass sukzessive über die
> [mm]dx^{1}[/mm] ... [mm]dx^{n}[/mm] integriert wird. Dabei entstehen ja
> eigentlich immer nur Konstanten, bis auf die Integration
> über gerade das [mm]dx^{i}.[/mm]
Nein das ist nicht richtig, die Funktion hängt doch von allen Koordinaten [mm] $x^1,\dots,x^n$ [/mm] ab.
> Bei dieser Integration entsteht ja
> dann eigentlich gerade wieder die Funktion [mm]F^{i}.[/mm] Dann
> folgt also mit dem Hauptsatz der Differential- und
> Integralrechnung
Korrekt, also
[mm] \integral_{a_i}^{b_i} \bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}} dx^i = F(x^1,\dots ,x^{i-1},b_i,x^{i+1},\dots,x^n) - F (x^1,\dots ,x^{i-1},a_i,x^{i+1},\dots,x^n) [/mm] .
> [mm]\integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}}[/mm]
> = A * [mm](F^{i} (b_{i})[/mm] - [mm]F^{i} (a_{i}))[/mm]
>
> für eine Konstante A [mm]\in \IR.[/mm] Und daraus folgt jetzt mit
> der Voraussetzung, dass W den Träger enthält und dass
> [mm]b_{i}[/mm] und [mm]a_{i}[/mm] ja gerade die Randpunkte des Würfels in
> der i-ten Dimension sind, dass
>
> A * [mm](F^{i} (b_{i})[/mm] - [mm]F^{i} (a_{i}))[/mm] = A * 0 = 0.
>
> Und da dies ja für [mm]\bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}} \forall[/mm]
> i [mm]\in[/mm] {1, ..., n} gilt, folgt die Behauptung.
>
> Ist das so in etwa der richtige Gedankengang?
Bedenke, dass die Funktion glatt ist und berücksichtige meine Bemerkung über den Wert der Funktion auf dem Randflächen des Würfels im letzten Posting.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Sa 28.04.2012 | | Autor: | WWatson |
> Hallo!
>
> > Hallo Rainer,
> >
> > vielen Dank für Deine Antwort!
> >
> > OK, also könnte man doch sagen, dass
> >
> >
> [mm]\integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}}[/mm]
> > =
> >
> [mm]\integral_{a_{1}}^{b_{1}}{...}{\integral_{a_{n}}^{b_{n}}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}}[/mm]
>
> >
> > gilt, oder? Jetzt ist es ja so, dass sukzessive über die
> > [mm]dx^{1}[/mm] ... [mm]dx^{n}[/mm] integriert wird. Dabei entstehen ja
> > eigentlich immer nur Konstanten, bis auf die Integration
> > über gerade das [mm]dx^{i}.[/mm]
>
> Nein das ist nicht richtig, die Funktion hängt doch von
> allen Koordinaten [mm]x^1,\dots,x^n[/mm] ab.
Du hast natürlich recht, ich war irgendwie von der Tatsache abgelenkt, dass die [mm] F^{i} [/mm] ja Komponentenfunktionen sind, die jeweils nach [mm] \IR [/mm] abbilden, aber die sind natürlich trotzdem von allen [mm] x^{i} [/mm] abhängig.
Nur ist mir jetzt nicht klar, was ich beispielsweise mit sowas wie
[mm] \integral_{a^{1}}^{b^{1}}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}} dx^1}
[/mm]
anfangen soll bzw. darüber aussagen kann.
> > Bei dieser Integration entsteht ja
> > dann eigentlich gerade wieder die Funktion [mm]F^{i}.[/mm] Dann
> > folgt also mit dem Hauptsatz der Differential- und
> > Integralrechnung
>
> Korrekt, also
>
> [mm]\integral_{a_i}^{b_i} \bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}} dx^i = F(x^1,\dots ,x^{i-1},b_i,x^{i+1},\dots,x^n) - F (x^1,\dots ,x^{i-1},a_i,x^{i+1},\dots,x^n)[/mm]
> .
Meinst Du hier nach dem Gleichheitszeichen F oder [mm] F^{i}?
[/mm]
>
> >
> [mm]\integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}}[/mm]
> > = A * [mm](F^{i} (b_{i})[/mm] - [mm]F^{i} (a_{i}))[/mm]
> >
> > für eine Konstante A [mm]\in \IR.[/mm] Und daraus folgt jetzt mit
> > der Voraussetzung, dass W den Träger enthält und dass
> > [mm]b_{i}[/mm] und [mm]a_{i}[/mm] ja gerade die Randpunkte des Würfels in
> > der i-ten Dimension sind, dass
> >
> > A * [mm](F^{i} (b_{i})[/mm] - [mm]F^{i} (a_{i}))[/mm] = A * 0 = 0.
> >
> > Und da dies ja für [mm]\bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}} \forall[/mm]
> > i [mm]\in[/mm] {1, ..., n} gilt, folgt die Behauptung.
> >
> > Ist das so in etwa der richtige Gedankengang?
>
> Bedenke, dass die Funktion glatt ist und berücksichtige
> meine Bemerkung über den Wert der Funktion auf dem
> Randflächen des Würfels im letzten Posting.
>
OK, also, dass die Funktion glatt ist, bedeutet ja, dass sie [mm] C^{\infty} [/mm] und damit auch insbesondere stetig ist. Daher dachte ich bei meiner obigen Argumentation, dass die Funktion auf den Randflächen bereits 0 sein muss. Sehe aber grade, dass ich oben vergessen habe, das dazu zu schreiben.
> Viele Grüße
> Rainer
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 28.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Hallo Rainer,
> > >
> > > vielen Dank für Deine Antwort!
> > >
> > > OK, also könnte man doch sagen, dass
> > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}}[/mm]
> > > =
> > >
> >
> [mm]\integral_{a_{1}}^{b_{1}}{...}{\integral_{a_{n}}^{b_{n}}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > gilt, oder? Jetzt ist es ja so, dass sukzessive über die
> > > [mm]dx^{1}[/mm] ... [mm]dx^{n}[/mm] integriert wird. Dabei entstehen ja
> > > eigentlich immer nur Konstanten, bis auf die Integration
> > > über gerade das [mm]dx^{i}.[/mm]
> >
> > Nein das ist nicht richtig, die Funktion hängt doch von
> > allen Koordinaten [mm]x^1,\dots,x^n[/mm] ab.
>
> Du hast natürlich recht, ich war irgendwie von der
> Tatsache abgelenkt, dass die [mm]F^{i}[/mm] ja Komponentenfunktionen
> sind, die jeweils nach [mm]\IR[/mm] abbilden, aber die sind
> natürlich trotzdem von allen [mm]x^{i}[/mm] abhängig.
>
> Nur ist mir jetzt nicht klar, was ich beispielsweise mit
> sowas wie
>
> [mm]\integral_{a^{1}}^{b^{1}}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}} dx^1}[/mm]
>
> anfangen soll bzw. darüber aussagen kann.
Gar nichts. Du sollst doch den Satz von Fubini benutzen. Was sagt der denn aus?
>
> > > Bei dieser Integration entsteht ja
> > > dann eigentlich gerade wieder die Funktion [mm]F^{i}.[/mm] Dann
> > > folgt also mit dem Hauptsatz der Differential- und
> > > Integralrechnung
> >
> > Korrekt, also
> >
> > [mm]\integral_{a_i}^{b_i} \bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}} dx^i = F(x^1,\dots ,x^{i-1},b_i,x^{i+1},\dots,x^n) - F (x^1,\dots ,x^{i-1},a_i,x^{i+1},\dots,x^n)[/mm]
> > .
>
> Meinst Du hier nach dem Gleichheitszeichen F oder [mm]F^{i}?[/mm]
[mm] $F^i$, [/mm] sorry.
> >
> [mm]\integral_{W_{1}}^{}{...}{\integral_{W_{n}}^{}{\bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}}}}[/mm]
> > > = A * [mm](F^{i} (b_{i})[/mm] - [mm]F^{i} (a_{i}))[/mm]
> > >
> > > für eine Konstante A [mm]\in \IR.[/mm] Und daraus folgt jetzt mit
> > > der Voraussetzung, dass W den Träger enthält und dass
> > > [mm]b_{i}[/mm] und [mm]a_{i}[/mm] ja gerade die Randpunkte des Würfels in
> > > der i-ten Dimension sind, dass
> > >
> > > A * [mm](F^{i} (b_{i})[/mm] - [mm]F^{i} (a_{i}))[/mm] = A * 0 = 0.
> > >
> > > Und da dies ja für [mm]\bruch{\partial F^{i}} {\partial x^{i}} \forall[/mm]
> > > i [mm]\in[/mm] {1, ..., n} gilt, folgt die Behauptung.
> > >
> > > Ist das so in etwa der richtige Gedankengang?
> >
> > Bedenke, dass die Funktion glatt ist und berücksichtige
> > meine Bemerkung über den Wert der Funktion auf dem
> > Randflächen des Würfels im letzten Posting.
> >
>
> OK, also, dass die Funktion glatt ist, bedeutet ja, dass
> sie [mm]C^{\infty}[/mm] und damit auch insbesondere stetig ist.
> Daher dachte ich bei meiner obigen Argumentation, dass die
> Funktion auf den Randflächen bereits 0 sein muss.
Genau! Was ist also
[mm] \integral_{a_i}^{b_i} \bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}} dx^i = F^i(x^1,\dots ,x^{i-1},b_i,x^{i+1},\dots,x^n) - F^i (x^1,\dots ,x^{i-1},a_i,x^{i+1},\dots,x^n)[/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:18 Sa 28.04.2012 | | Autor: | WWatson |
Hallo,
OK, vielen Dank, ich glaube, jetzt ist der Knoten geplatzt.
Also, es ist ja dann
[mm] \integral_{a_i}^{b_i} \bruch{\partial F^{i}}{\partial x^{i}} dx^i [/mm] = [mm] F^i(x^1,\dots ,x^{i-1},b_i,x^{i+1},\dots,x^n) [/mm] - [mm] F^i (x^1,\dots ,x^{i-1},a_i,x^{i+1},\dots,x^n) [/mm] = 0
Nach dem Satz von Fubini ist es doch jetzt egal, in welcher Reihenfolge ich die Integrationen vornehme, wenn ich also immer dieses Integral über der i-ten Dimension zuerst berechne bleibt für alle anderen Integrationen nur das Integral über 0, also würde ja so bereits die Behauptung folgen.
Ist das so korrekt?
Nochmals vielen Dank und viele Grüße,
WWatson
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 03.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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