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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
[mm] \forall n\in [/mm] N : [mm] a_n \in [/mm] R
a)
[mm] a_n [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} (1+\bruch{1}{i} [/mm] )
b)
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{10a_n^2}{a_n^2 + 25} [/mm] , [mm] a_1 [/mm] = 6
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Hi,
zur a)
Habe zunächst die Folge in einen simplere Form ungewandelt: [mm] a_n [/mm] = n +1
Habe gezeigt, dass es sie monoton wachsen ist:
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = n+1 +1 - (n+1) = 1 [mm] \ge [/mm] 0
Dann gezeigt das [mm] 2\le a_n \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N gilt(schreib ich jetzt nicht hin)
Meine Frage ist, reicht das aus um Divergenz nachzuweisen, oder muss ich zeigen, dass die Folge nach oben nicht beschränkt ist? Bzw. wie stell ich das an, das sieht man ja eigentlich schon in der vereinfachten Form.
zu b)
Die folge ist monoton fallend, das habe ich nachgewiesen(will nicht aufschreiben, sind nur Umformungen)
Habe jedoch Probleme bei der Beschränktheit , wie fange ich das an Vermute ich einfach einen untere Schranke?Und versuche sie dann nachzuweisen?
Snafu
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Hallo,
> Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie
> gegebenenfalls den Grenzwert.
> [mm]\forall n\in[/mm] N : [mm]a_n \in[/mm] R
> a)
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n} (1+\bruch{1}{i}[/mm] )
>
> b)
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{10a_n^2}{a_n^2 + 25}[/mm] , [mm]a_1[/mm] = 6
>
>
> Hi,
>
> zur a)
> Habe zunächst die Folge in einen simplere Form
> ungewandelt: [mm]a_n[/mm] = n +1
> Habe gezeigt, dass es sie monoton wachsen ist:
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n[/mm] = n+1 +1 - (n+1) = 1 [mm]\ge[/mm] 0
>
> Dann gezeigt das [mm]2\le a_n \forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N gilt(schreib ich
> jetzt nicht hin)
>
> Meine Frage ist, reicht das aus um Divergenz nachzuweisen,
> oder muss ich zeigen, dass die Folge nach oben nicht
> beschränkt ist? Bzw. wie stell ich das an, das sieht man
> ja eigentlich schon in der vereinfachten Form.
Also: Es reicht nicht zu zeigen, dass alle Folgenglieder größer als 2 sind - was soll das beweisen? Der Grenzwert der Folge könnte doch dann noch 1000, 3, oder 2.5 oder was auch immer sein...
Du musst, wie du selbst gesagt hast, zeigen, dass die Folge nicht beschränkt ist.
Das ist an sich offensichtlich.
Du kannst das aber sogar noch formal beweisen (auch wenn das vermutlich nicht notwendig ist):
Angenommen, es gäbe ein [mm] M\in\IR [/mm] so, dass gelten würde: [mm] $|a_{n}| [/mm] < M$ für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Gibt nun einfach ein [mm] n\in\IN [/mm] an, für das die Aussage nicht mehr gilt, und du hast deinen Widerspruch und damit die Unbeschränktheit von [mm] a_{n}.
[/mm]
> zu b)
> Die folge ist monoton fallend, das habe ich
> nachgewiesen(will nicht aufschreiben, sind nur
> Umformungen)
> Habe jedoch Probleme bei der Beschränktheit , wie fange
> ich das an Vermute ich einfach einen untere Schranke?Und
> versuche sie dann nachzuweisen?
Ja - damit weist du dann nach, dass die Folge konvergiert.
Man sieht doch anhand der Rekursionsformel, dass [mm] $a_{n} \ge [/mm] 0$ sein muss! Damit hast du deine untere Schranke und zusammen mit "monoton fallend" dann Konvergenz.
Grüße,
Stefan
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Hi,
ach ist bei sowas egal welche Schranke ich nehme, dachte ich müsste dann die größte untere finden und die beweisen?
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Snafu!
Nerin, es reicht zu zeiegn, dass die Folge monoton ist und beschränkt. Dabei müssen es nicht die extremalen Schranken sein.
Gruß
Loddar
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Hi,
hab bei der b) Probleme, habe paar Werte ausgerechnet und gesehen, dass die Folge fällt, wenn ich jedoch den Grenzwert bestimmen will:
lim [mm] \bruch{10a_n^2}{a_n^2 +25} [/mm] = lim [mm] \bruch{10}{1+\bruch{25}{a_n^2}}
[/mm]
komm 10 raus... das kann aber nicht sein wenn die Folge bei 6 beginnt und fällt.
Sanfu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 So 02.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bernd!
Für den Grenzwert solltest Du ansetzen:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] \ =: \ A$$
Damit ergibt sich dann folgende Bestimmungsgleichung, welche es zu lösen gilt:
$$A \ = \ [mm] \bruch{10*A^2}{A^2+25}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ah, ok!
Also:
A= [mm] \bruch{10}{1 + \bruch{25}{A^2}} [/mm] <=> 0 = [mm] A^2 [/mm] -10A + 25
[mm] A_{1,2} [/mm] = 5 +- [mm] \wurzel{25-25} [/mm] = 5
ist da irgendwo ein Fehler, meine müsste so passen.
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 So 02.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Snafu!
Ja, das passt so.
Allerdings unterschlägst Du noch einen Lösungskandidaten mit $A \ = \ 0$ . Den solltest Du nicht vergessen und auch begründen,warum dies nicht der Grenzwert ist.
Gruß
Loddar
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Hi,
aber A =0 ist doch keine Lösung. bei A=0 würde aus der Gleichung folgen 0 = 25. Übersehe ich was?
Snafu
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Hallo,
> aber A =0 ist doch keine Lösung. bei A=0 würde aus der
> Gleichung folgen 0 = 25. Übersehe ich was?
Gemeint ist die Lösung, die du von Anfang an unterschlägst:
Die Gleichung lautet
$A = [mm] \frac{10*A^{2}}{A^{2}+25}$
[/mm]
Hier ist $A = 0$ noch eine Lösung.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 So 02.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Ah, ok jetzt sehe ich es, habe ein A ausmultipliziert und es nicht hingeschrieben. Vielen Dank
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