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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Divergenz
Divergenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Divergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 So 27.03.2011
Autor: rumsbums

Aufgabe
Aufgabe: Zeigen Sie, dass das elektrische Feld außerhalb des Zylinders quellenfrei ist,

wenn gilt div F =0 "das Vektorfeld ist im Volumenelement quellenfrei"

und [mm] F=\bruch{(pel)*R^2}{2*\varepsilon0*(x^2+y^2)}*\vektor{x \\ y \\ 0} [/mm]

pel=elektrische Ladungsdichte
R=Radius mit unbeschränkter Länge des Zylinders
[mm] \varepsilon0 [/mm] = elektrische Feldkonstante



Außerdem gilt noch:

[mm] x^2+y^2 \ge R^2 [/mm]

Also ich weiß, wie ich divergenz berechne, aber ich weiß nicht wie ich die divergenz auf diese formel anwenden muss? was muss ich wie partiell ableiten?

        
Bezug
Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 So 27.03.2011
Autor: ullim

Hi,

schreib doch mal die Definition der Divergenz hin, vielleicht gehts dann einfacher.

Bezug
                
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Divergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 So 27.03.2011
Autor: rumsbums

Okay die Defintion ist folgende:

Die Divergenz eines Vektorfeldes:

[mm] \overrightarrow{F}(x,y.z)=\vektor{ Fx(x,y,z)\\ Fy(x,y,z) \\ Fz(x,y,z)} [/mm]

ist das skalare Feld:

div [mm] \overrightarrow{F}= \bruch{\partial Fx}{\partial x} [/mm] + [mm] \bruch{\partial Fy}{\partial y} [/mm] + [mm] \bruch{\partial Fz}{\partial z} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 So 27.03.2011
Autor: ullim

Hi,

und wie sehen [mm] F_x, F_y [/mm] und [mm] F_z [/mm] aus?

Bezug
                                
Bezug
Divergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 So 27.03.2011
Autor: rumsbums

Na ja also ich würde das folgendermaßen anwenden:

div [mm] \overrightarrow{F}=\bruch{(pel)*R^2}{2*\varepsilon0*(x^2+y^2)}*div \vektor{x \\ y \\ 0} [/mm]

div [mm] \vektor{x \\ y \\ 0} [/mm] =1+1+0=2

daraus folgt:


div [mm] \overrightarrow{F}=\bruch{ [b]2[/b] *((pel)*R^2)}{2*\varepsilon0*(x^2+y^2)} [/mm]
und somit:

div [mm] \overrightarrow{F}=\bruch{ (pel)*R^2}{\varepsilon0*(x^2+y^2)} [/mm]

tja und dann?



Bezug
                                        
Bezug
Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 So 27.03.2011
Autor: pelzig

Im Nenner stehen aber auch noch [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm], die musst du beim Ableiten mit beachten. Noch ne andere Frage: Hängt [mm]p_{el}[/mm] noch irgendwie von [mm]x[/mm] oder [mm]y[/mm] ab?

Gruß, Robert


Bezug
                                                
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Divergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 So 27.03.2011
Autor: rumsbums

Aufgabe
Exakt lautet die aufgabe:

Wir betrachten einen homogen geladenen, symmetrisch zur z-Achse verlaufenden zylinder unbeschränkter Länge mit dem Radius R und der elektrischen Ladungsdichte pel.

Der Zylinder ist von einem axialsymmetrischen Feld umgeben. Im äußeren Teil des Zylinders, d.h. für [mm] x^2+y^2 \ge R^2, [/mm] besitzt das Feld die elektrische Feldstärke F.

F ist die Funktion: .... siehe oben

also sieht es meine Funktion nach dem ableiten so aus:


[mm] \overrightarrow{F}=\bruch{2*((pel)*R^2)}{2*\varepsilon0*(2x+2y)} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Divergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 So 27.03.2011
Autor: XPatrickX

Hallo,

also nochmal langsam. Die erste Komponente deiner Funktion F, also die Komponente [mm] F_x [/mm] sieht doch folgendermaßen aus:

[mm] $$F_x=\bruch{(pel)\cdot{}R^2}{2\cdot{}\varepsilon0\cdot{}(x^2+y^2)}\cdot{}x$$ [/mm]

Diesen Bruch musst du nun nach x differenzieren.

Analog mit [mm] F_y [/mm] und trivialerweise mit [mm] F_z. [/mm]

Gruß Patrick

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