Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
Es geht um die Folge:
[mm] a_n [/mm] = n ( [mm] n^{1/n}-1)
[/mm]
für lim. n--> unenedlich geht [mm] a_n [/mm] ebenfalls gegen unendlich..
Doch wie beweist man das rechnerisch bzw. schriftlich. Oder reicht es in so einem Fall wenn man den Limes ausschreibt?
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Hallo Maya,
> Es geht um die Folge:
> [mm]a_n[/mm] = n ( [mm]n^{1/n}-1)[/mm]
> für lim. n--> unenedlich geht [mm]a_n[/mm] ebenfalls gegen
> unendlich..
Stimmt, aber woher weißt Du das?
> Doch wie beweist man das rechnerisch bzw. schriftlich.
> Oder reicht es in so einem Fall wenn man den Limes
> ausschreibt?
Das reicht, aber es muss nachvollziehbar sein. Es genügt eben nicht, einfach zu behaupten, der Limes sei [mm] \infty.
[/mm]
Du wirst eine Abschätzung der Klammer brauchen.
Schlag dazu mal nach, wie man zeigt, dass [mm] \lim_{n\to\infty}\wurzel[n]{n}=1 [/mm] ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
durch einsetzten habe ich dies herausgefunden
leider habe ich nichts passendes im Internet gefunden..
meinst du mit abschätzen der Klammer:
[mm] n^{1/n} [/mm] - 1 [mm] \le n^{1/n} \le [/mm] n
oder ist das zu weit gegriffen?
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Hallo nochmal,
> durch einsetzten habe ich dies herausgefunden
Oha. Das würde helfen, wenn Du vorher die Monotonie der Folge herausgefunden (=nachgewiesen) hättest, wobei immer noch das Problem bliebe, dass die Folge ja nach oben beschränkt sein könnte und z.B. auf den Grenzwert [mm] 4.872.191.295.275.336.452.030.251+\wurzel{2}^e [/mm] zustrebt.
Vielleicht fällt sie aber auch ab n=14.288 wieder?
> leider habe ich nichts passendes im Internet gefunden..
> meinst du mit abschätzen der Klammer:
> [mm]n^{1/n}[/mm] - 1 [mm]\le n^{1/n} \le[/mm] n
> oder ist das zu weit gegriffen?
Ja, das ist noch zu weit. Hier hilft eine Abschätzung außerdem nur, wenn Du damit tatsächlich die Divergenz nachweisen kannst.
Übrigens heißt das Wort so (Divergenz), nicht "Diskonvergenz".
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ich meinte durch einsetzen in den Taschenrechner :-P der zeigt mir, dass die Funktion monoton steigend ist
wie soll ich dann abschätzen. ich habe schon probiert. es muss ja nach unten abgeschätzt werden mit [mm] ..\le [/mm] 1 am rechten Ende der Ungleichung oder?
aber wie komme ich über [mm] n^{1/n} [/mm] dorthin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:18 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> ich meinte durch einsetzen in den Taschenrechner :-P der
> zeigt mir, dass die Funktion monoton steigend ist
Der Taschenrechner zeigt dir nur Werte, die du interpretierst. Das heißt aber nicht, dass es einfach so gilt!
> wie soll ich dann abschätzen. ich habe schon probiert. es
> muss ja nach unten abgeschätzt werden mit [mm]..\le[/mm] 1 am
> rechten Ende der Ungleichung oder?
> aber wie komme ich über [mm]n^{1/n}[/mm] dorthin?
Du willst folgendes zeigen:
Für alle $M>0$ existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] derart, so dass für alle $n>N$ gilt: [mm] a_n>M.
[/mm]
Damit hast du dann bestimmte Divergenz oder uneigentliche Konvergenz gegen [mm] \infty [/mm] gezeigt.
[mm] a_n=n(n^{\frac{1}{n}}-1)>\ldots
[/mm]
Jetzt du!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
okay danke
also:
[mm] n*((n^{1/n})-1) \le n^{1/n} [/mm] - 1 [mm] \le n^{1/n} \le n^1 \le [/mm] n [mm] \le [/mm] 1
aber wie schätze ich hier weiter ab? ist das zu weit abgegriffen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 02.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> okay danke
> also:
> [mm]n*((n^{1/n})-1) \le n^{1/n}[/mm] - 1 [mm]\le n^{1/n} \le n^1 \le[/mm] n
> [mm]\le[/mm] 1
> aber wie schätze ich hier weiter ab? ist das zu weit
> abgegriffen?
Hä ? Das geht in die falsche Richtung:
Unser Achtgeber hats doch gesagt: zeige: ist M>0 , so ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_n \ge [/mm] M für alle n>N.
Machen wir das mal versuchsweise zur Orientierung:
[mm] a_n \ge [/mm] M [mm] \gdw n^{1/n} \ge 1+\bruch{M}{n} \gdw [/mm] n [mm] \ge (1+\bruch{M}{n})^n.
[/mm]
Nun ist Dir sicher bekannt, das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{M}{n})^n=e^M [/mm] ist.
Mache Dir nun klar, dass es ein N [mm] \in \IN [/mm] gibt mit [mm] a_n [/mm] > M für alle n>N.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
> Machen wir das mal versuchsweise zur Orientierung:
>
> [mm]a_n \ge[/mm] M [mm]\gdw n^{1/n} \ge 1+\bruch{M}{n} \gdw[/mm] n [mm]\ge (1+\bruch{M}{n})^n.[/mm]
>
> Nun ist Dir sicher bekannt, das
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{M}{n})^n=e^M[/mm] ist.
ja das verstehe ich!danke
>
> Mache Dir nun klar, dass es ein N [mm]\in \IN[/mm] gibt mit [mm]a_n[/mm] > M
> für alle n>N.
mir ist klar wieso ich das zeigen soll. allerdings ist mir unklar wie ich dies mit eine rUngleichung beweisen, denn n ist ja jetzt größer als der linke Term, also kann ich hier n nicht durch N ersetzen...weißt du was ich meine? bei anderen Ungleichungen z.B n [mm] \le [/mm] x galt dann auch N [mm] \le [/mm] x
aber hier ist n ja größer. Wie verdeutliche ich dann das ein N [mm] \le [/mm] n existiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
>
> > Machen wir das mal versuchsweise zur Orientierung:
> >
> > [mm]a_n \ge[/mm] M [mm]\gdw n^{1/n} \ge 1+\bruch{M}{n} \gdw[/mm] n [mm]\ge (1+\bruch{M}{n})^n.[/mm]
>
> >
> > Nun ist Dir sicher bekannt, das
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{M}{n})^n=e^M[/mm] ist.
>
> ja das verstehe ich!danke
> >
> > Mache Dir nun klar, dass es ein N [mm]\in \IN[/mm] gibt mit [mm]a_n[/mm] > M
> > für alle n>N.
>
> mir ist klar wieso ich das zeigen soll. allerdings ist mir
> unklar wie ich dies mit eine rUngleichung beweisen, denn n
> ist ja jetzt größer als der linke Term, also kann ich
> hier n nicht durch N ersetzen...weißt du was ich meine?
> bei anderen Ungleichungen z.B n [mm]\le[/mm] x galt dann auch N [mm]\le[/mm]
> x
> aber hier ist n ja größer. Wie verdeutliche ich dann das
> ein N [mm]\le[/mm] n existiert?
>
Du sollst hier nichts weiter rechnen. Mach dir folgendes klar:
> > Mache Dir nun klar, dass es ein N [mm]\in \IN[/mm] gibt mit [mm]a_n[/mm] > M
> > für alle n>N.
Wieso gilt das?
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ich hätte jetzt gesagt, dass so ein N existiert, wegen n [mm] \ge [/mm] (1 + [mm] \frac{M}{n})^{n} [/mm]
denn wenn n [mm] \ge [/mm] (1 + [mm] \frac{M}{n})^{n} \ge [/mm] (1 + [mm] \frac{M}{N})^{M} [/mm]
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist das N im Nenner? und warum ist der hintere Ausdruck kleiner als der davor?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib mal deutlich auf, was es bedeutet, dass [mm] a_n [/mm] divergiert, bez gegen [mm] \infty [/mm] läuft, du hast inzwischen zuviel Durcheinander im Kopf.
fang an mit es existiert ein N so dass....
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
also:
es existiert ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_n \ge [/mm] M ( M [mm] \in \IR [/mm] ) für alle n [mm] \ge [/mm] N
[mm] a_n \ge [/mm] M kann umgeformt werden zu
n [mm] \ge [/mm] ( [mm] \frac{M}{n} [/mm] +1 [mm] )^{n} [/mm]
und lim für n-> unendlich für ( [mm] \frac{M}{n} [/mm] +1 [mm] )^{n} [/mm] ) ist = [mm] e^{M}
[/mm]
und da die e-Funtkion monoton steigend ist, verläuft die gesamte Folge gegen unendlich..aber was soll ich jetzt noch zur Vervollständigung mit N formulieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
danit n>M ist wie musst du denn nun N wählen. deine Aussagen sind alle zu ungenau!
zu jedem M gib ein N an so dass fÜr alle n>Nglt ----
gib so ein N(M) an.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
...sodass für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt:
n [mm] \ge [/mm] (1 + [mm] \frac{M}{n} )^{n}
[/mm]
oder?
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Hallo,
> ...sodass für alle n [mm]\ge[/mm] N gilt:
> n [mm]\ge[/mm] (1 + [mm]\frac{M}{n} )^{n}[/mm]
> oder?
Nein!
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Di 03.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> also:
> es existiert ein N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a_n \ge[/mm] M ( M [mm]\in \IR[/mm] )
> für alle n [mm]\ge[/mm] N
> [mm]a_n \ge[/mm] M kann umgeformt werden zu
> n [mm]\ge[/mm] ( [mm]\frac{M}{n}[/mm] +1 [mm])^{n}[/mm]
> und lim für n-> unendlich für ( [mm]\frac{M}{n}[/mm] +1 [mm])^{n}[/mm] )
> ist = [mm]e^{M}[/mm]
> und da die e-Funtkion monoton steigend ist, verläuft die
> gesamte Folge gegen unendlich..
Das ist doch Unsinn !
> aber was soll ich jetzt noch
> zur Vervollständigung mit N formulieren?
Also gut, machen wirs allgemein: sei [mm] (c_n) [/mm] eine konvergente Folge (bei Dir ist [mm] c_n=(1+\bruch{M}{n})^n [/mm] )
Dann ist [mm] (c_n) [/mm] nach oben beschränkt, es gibt also ein S [mm] \in \IR [/mm] mit:
[mm] c_n \le [/mm] S für alle n.
Nun wähle N [mm] \in \IN [/mm] mit: N >S.
Sei nun n>N. Dann ist
n>S [mm] \ge c_n.
[/mm]
Fazit: es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] n>c_n [/mm] für alle n mit n>N.
FRED
P.S.: dass [mm] (c_n) [/mm] konvergiert, wird gar nicht benötigt. Es reicht, dass [mm] (c_n) [/mm] nach oben beschränkt ist.
FRED
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