Divergenz Berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Sa 29.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Kurze Frage:
In ner Musterlösung vom Web steht die Divergenz in Kugelkoordinaten von
A(x,y,z) = [mm] \vektor{x^{3} \\ y^{3} \\ z^{3}} [/mm] soll gleich [mm] 3*r^{2} [/mm] sein.
Das ist doch falsch oder?
Weil [mm] 3*x^{2} [/mm] + [mm] 3*y^{2} [/mm] + [mm] 3*z^{2} [/mm] in Kartesischen Koordinaten = [mm] 3*r^{2} [/mm] + [mm] 3*r^{2}*sin(\alpha)^{2} [/mm] in Kugelkoordinaten, oder?
Danke.
Gruss
|
|
| |
|
Hallo!
> Hallo,
>
> Kurze Frage:
>
> In ner Musterlösung vom Web steht die Divergenz in
> Kugelkoordinaten von
>
> A(x,y,z) = [mm]\vektor{x^{3} \\ y^{3} \\ z^{3}}[/mm] soll gleich
> [mm]3*r^{2}[/mm] sein.
>
> Das ist doch falsch oder?
>
> Weil [mm]3*x^{2}[/mm] + [mm]3*y^{2}[/mm] + [mm]3*z^{2}[/mm] in Kartesischen
> Koordinaten = [mm]3*r^{2}[/mm] + [mm]3*r^{2}*sin(\alpha)^{2}[/mm] in
> Kugelkoordinaten, oder?
So einfach geht´s nicht.  Zunächst einmal hast du hier ein Vektorfeld mit
[mm] \vec{A}(x,y,z):\IR^{3}\to\IR^{3} [/mm]
gegeben und nicht etwa, so wie du es geschrieben hast, ein Skalarfeld mit
[mm] A(x,y,z):\IR^{3}\to\IR. [/mm]
Ein Vektorfeld zeichnet sich durch die Existenz von Betrag und Richtung der einzelnen Komponentenfunktionen aus. Korrekt muss es also heissen
[mm] \vec{A}(x,y,z)=\vektor{x^{3} \\ y^{3} \\ z^{3}}=x^{3}\vec{e}_{x}+y^{3}\vec{e}_{y}+z^{3}\vec{e}_{z}
[/mm]
Für die Transformation einens kartesischen Vektorfeldes in Kugelkoordinaten geht man nun wie folgt vor:
1.) Für die Umrechnung von Komponentenfunktionen kartesicher Art ins Kugelkoordinatensystem gilt:
[mm] x=r{sin(\theta)}cos(\varphi)
[/mm]
[mm] y=r{sin(\theta)}sin(\varphi)
[/mm]
[mm] z=r{cos(\theta)}
[/mm]
2.) Für die Projektion der kartesischen Einheitsvektoren auf jene des Kugelkoordinatensystems gilt:
[mm] \vec{e}_{x}=\vec{e}_{r}sin(\theta)cos(\varphi)+\vec{e}_{\theta}cos(\theta)cos(\varphi)-\vec{e}_{\varphi}sin(\varphi)
[/mm]
[mm] \vec{e}_{y}=\vec{e}_{r}sin(\theta)sin(\varphi)+\vec{e}_{\theta}cos(\theta)sin(\varphi)+\vec{e}_{\varphi}cos(\varphi)
[/mm]
[mm] \vec{e}_{z}=\vec{e}_{r}cos(\theta)-\vec{e}_{\theta}sin(\theta)
[/mm]
Außerdem gilt für die Divergenz in Kugelkoordinaten:
[mm] div\vec{A}=\nabla(r,\theta,\varphi)*\vec{A}=\bruch{1}{r^{2}} \bruch{\partial(r^{2}A_{r})}{\partial{r}}+\bruch{1}{r{sin(\theta)}}\bruch{\partial(sin(\theta)A_{\theta})}{\partial{\theta}}+\bruch{1}{r{sin(\theta)}}\bruch{\partial(A_{\varphi})}{\partial{\varphi}}
[/mm]
Noch ein "kleiner" Hinweis:
Für den kartesischen Ortsvektor hat man:
[mm] \vec{r}(x,y,z)=x\vec{e}_{x}+y\vec{e}_{y}+z\vec{e}_{z}
[/mm]
Im Zuge der Arbeitsschritte 1.) und 2.) erhält man den Ortsvektor des Kugelkoordinatensystems zu:
[mm] \vec{r}(r,\theta,\varphi)=r\vec{e}_{r}
[/mm]
Frohes Schaffen!
> Danke.
>
> Gruss
Gruß, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Sa 29.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke viel mal für die gute und präzise Darstellung! Das ist sehr nett.
Ich habe jetzt erstmal das richtige Ergebnis mit deinen Beziehungen hingekriegt. Mit dem was du geschrieben hast, was allgemein für die Divergenz in Kugelkoordinaten gilt, da werd ich mir noch den Kopf drüber zerbrechen...
Gruss Qsxqsx
|
|
|
|
