Divergenz/Konvergenz Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | [mm] 1)\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{13n-200}
[/mm]
Konvergiert oder divergiert die Reihe?
2) [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Bestimme eine konvergente Majorante. |
1) Im Skriptum steht dazu:
[mm] \frac{1}{13n-200} [/mm] > [mm] \frac{1}{13n} [/mm] = 1/13 * 1/n
-> divergente Minorante.
Nun verstehe ich aber die abschätzung: [mm] \frac{1}{13n-200} [/mm] > [mm] \frac{ 1}{13n} [/mm]
nicht.
2) Der Tutor rechnete vor:
-( [mm] \frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}}) [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{n+3} - \wurzel{n}}{\wurzel{n*(n+3)}} [/mm] = [mm] \frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})} [/mm] < [mm] \frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}} [/mm] = 3/2 * [mm] \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}
[/mm]
Hier verstehe ich die Abschätzung: [mm] \frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})} [/mm] < [mm] \frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}}
[/mm]
nicht.
LG,
quasimo
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Hi!
> [mm]1)\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{13n-200}[/mm]
> Konvergiert oder
> divergiert die Reihe?
>
> 2) [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Bestimme eine konvergente Majorante.
> 1) Im Skriptum steht dazu:
> [mm]\frac{1}{13n-200}[/mm] > [mm]\frac{1}{13n}[/mm] = 1/13 * 1/n
> -> divergente Minorante.
>
> Nun verstehe ich aber die abschätzung: [mm]\frac{1}{13n-200}[/mm]
> > [mm]\frac{ 1}{13n}[/mm]
> nicht.
Setze doch einfach mal Zahlen für n ein.
[mm]n=100:[/mm]
[mm]\frac{1}{13\cdot 100-200}=\frac{1}{1300-200}=\frac{1}{1100}>\frac{1}{13n}=\frac{1}{1300}[/mm]
Wenn du den Nenner durch eine Minusoperation immer wieder kleiner machst
ergibt sich daraus, dass derselbe Term ohne diese Minusoperation
im Nenner immer kleiner ist als der mit der Minusoperation.
Würde dort p.ex. ein Plus Zeichen stehen, so könntest du diese
Abschätzung nicht machen. Versuche es einfach einmal.
> 2) Der Tutor rechnete vor:
>
> -( [mm]\frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}})[/mm] =
> [mm]\frac{\wurzel{n+3} - \wurzel{n}}{\wurzel{n*(n+3)}}[/mm] =
> [mm]\frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})}[/mm] <
> [mm]\frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}}[/mm] = 3/2 *
> [mm]\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
> Hier verstehe ich die Abschätzung:
> [mm]\frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})}[/mm] <
> [mm]\frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
> nicht.
Wenn du den Nenner ausmultiplizieren würdest, so hättest du einen
Nennerterm der Form:
[mm]\frac{Zaehler}{\sqrt{n^3+\dots\dots}+\sqrt{n^3+\dots\dots}}[/mm]
Wobei das nun immer kleiner ist als [mm]\frac{Zaehler}{\sqrt{n^3}+\sqrt{n^3}}=\frac{Zaehler}{2\cdot\sqrt{n^3}}=\frac{Zaehler}{2\cdot n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
Insgesamt gilt also:
[mm]\frac{Zaehler}{\sqrt{n^3+\dots\dots}+\sqrt{n^3+\dots\dots}}<\frac{Zaehler}{\sqrt{n^3}+\sqrt{n^3}}=\frac{Zaehler}{2\cdot\sqrt{n^3}}=\frac{Zaehler}{2\cdot n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
danke ;)
LG
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Hallo,
> [mm]1)\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{13n-200}[/mm]
> Konvergiert oder
> divergiert die Reihe?
>
> 2) [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Bestimme eine konvergente Majorante.
> 1) Im Skriptum steht dazu:
> [mm]\frac{1}{13n-200}[/mm] > [mm]\frac{1}{13n}[/mm] = 1/13 * 1/n
> -> divergente Minorante.
>
> Nun verstehe ich aber die abschätzung: [mm]\frac{1}{13n-200}[/mm]
> > [mm]\frac{ 1}{13n}[/mm]
> nicht.
Du kannst die Abschätzung auch direkt durch lösen der Ungleichung einsehen.
Ein Regel aus der Sekundarstufe I: "Ein Bruch wird größer indem der Zähler größer wird und/oder der Nenner kleiner."
>
> 2) Der Tutor rechnete vor:
>
> -( [mm]\frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}})[/mm] =
> [mm]\frac{\wurzel{n+3} - \wurzel{n}}{\wurzel{n*(n+3)}}[/mm] =
> [mm]\frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})}[/mm] <
> [mm]\frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}}[/mm] = 3/2 *
> [mm]\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
> Hier verstehe ich die Abschätzung:
> [mm]\frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})}[/mm] <
> [mm]\frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
> nicht.
>
> LG,
> quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo quasimo,
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> Nun verstehe ich aber die abschätzung: [mm]\frac{1}{13n-200}[/mm] > [mm]\frac{ 1}{13n}[/mm]
> nicht.
Gut. Sie gilt nämlich nicht für kleine $n$, denn für $n = 1, 2, 4, [mm] \ldots [/mm] 15 $ steht links was Negatives und rechts was Positives. Für $n > 15$ stimmt sie allerdings, denn dann ist $13n-200> 0$ und die Ungleichung folgt aus der strengen Monotonie der Multiplikation mit positiven Zahlen:
$0>-200 [mm] \gdw [/mm] 13n > 13n - 200 [mm] \gdw \frac [/mm] 1 {13n-200} > [mm] \frac [/mm] 1 {13 n}$.
Dennoch bricht die Argumentation nicht zusammen, da für Konvergenzbetrachtungen ja nur die großen Glieder eine Rolle spielen.
Gruß,
Wolfgang
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