Divergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Lisa12 |
hallo, ich soll die reihe [mm] a_{n}=\bruch{n^n}{n!} [/mm] auf konvergenz überprfüen und hab m.h. des quotientenkriteriums rausgefunden das sie divergiert da sie gegen e geht und somit größer 1 !
ist das korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mo 17.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> hallo, ich soll die reihe [mm]a_{n}=\bruch{n^n}{n!}[/mm] auf
> konvergenz überprfüen und hab m.h. des
> quotientenkriteriums rausgefunden das sie divergiert da sie
> gegen e geht und somit größer 1 !
> ist das korrekt?
Puuuh !
1. Du meinst sicher die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] .
2. Du meinst sicher, dass [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} \to [/mm] e für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Wenn Du all das so meinst, so schreibe es auch so. Dann ist es korrekt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Lisa12 |
ooh ja sry! :(
hilft mir das quotientenkriterium auch bei [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(ln k)^k}
[/mm]
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Hallo Lisa!
> hilft mir das quotientenkriterium auch bei [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(ln k)^k}[/mm]
Ich meine: eher nein. aber wie sieht es denn mit dem Wurzelkriterium aus?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Lisa12 |
Meiner Meinung nach bringt das Wurzelkriterium keinen erfolg ... :(
hat vielleicht noch jemand einen Tipp?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Lisa12 |
eventuell harmonische reihe?
für hinreichend großes k gilt
(ln [mm] k)^k [/mm] < k und somit [mm] \bruch{1}{(ln k)^k}>\bruch{1}{k} [/mm] und somit wegen Majorantenkriterium divergent??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 17.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo> eventuell harmonische reihe?
> für hinreichend großes k gilt
> (ln [mm]k)^k[/mm] < k also [mm] lnk<\wurzel[k]{k} [/mm] ?
wenn du das zeigen könntest , z.B ein k angibst ist das ok.
> und somit [mm]\bruch{1}{(ln k)^k}>\bruch{1}{k}[/mm]
> und somit wegen Majorantenkriterium divergent??
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Lisa12 |
das gilt doch für alle k>0 oder nicht? und meine reihe fängt ja bei k=2 an ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> das gilt doch für alle k>0 oder nicht? und meine reihe
> fängt ja bei k=2 an ...
na, Du meinst sicher, dass Deine Ungleichung gelten sollte für alle
(natürlichen) $k [mm] \ge 2\,.$ [/mm] Sie wird aber nicht gelten:
[mm] $$\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left|\frac{1}{(\ln(k))^k}\right|}=\lim_{k \to \infty}\frac{1}{\ln(k)}=0\,.$$
[/mm]
Diese Beobachtung widerspräche Deiner Ungleichung, denn... ?
Oder man rechnet
[mm] $$\frac{(\ln(k))^k}{(\ln(k+1))^{k+1}}=\frac{1}{\ln(k+1)}*\left(\frac{\ln(k)}{\ln(k+1)}\right)^k \to 0\,,$$
[/mm]
weil [mm] $\frac{1}{\ln(k+1)} \to [/mm] 0$ und weil [mm] $\left(\left(\frac{\ln(k)}{\ln(k+1)}\right)^k\right)_{k \in \IN_{\ge 2}}$ [/mm]
offenbar durch [mm] $1\,$ [/mm] nach oben beschränkt ist!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mo 17.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Meiner Meinung nach bringt das Wurzelkriterium keinen
> erfolg ... :(
wie begründest du denn deine Meinung?
Meinungen haben in mathe ohne Begründung sehr wenig Sinn
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ooh ja sry! :(
> hilft mir das quotientenkriterium auch bei
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(ln k)^k}[/mm]
ganz schnell kann man sich das hier auch so angucken [mm] ($\ln$ [/mm] ist auf
[mm] $[2,\infty)$ [/mm] sowohl [mm] $>0\,$ [/mm] als auch streng wachsend - und gleiches gilt
für $x [mm] \mapsto x^k$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IN_{\ge 2}$):
[/mm]
[mm] $$\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{(\ln k)^k} \le \frac{1}{(\ln(2))^2}+\summe_{k=3}^{\infty} \bruch{1}{(\ln 3)^k}\,.$$
[/mm]
Und schon erkennt man die Konvergenz nach dem Majorantenkriterium.
(Warum konvergiert die Reihe rechterhand offensichtlich?)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Lisa12 |
... weil das für k gegen unendlich gegen 0 geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ... weil das für k gegen unendlich gegen 0 geht?
was ist DAS?
Ich wollte wissen, warum
[mm] $$\sum_{k=3}^\infty \frac{1}{(\ln 3)^k}$$
[/mm]
offensichtlich konvergiert.
(Edit:Ich hatte da vorher was anderes stehen, beachte bitte die
Korrektur - und sorry für die Verwirrung!)
Wende doch (nun) mal das Wurzelkriterium an. Was
steht denn dann da? Und was folgt dann wegen [mm] $\ln(3) [/mm] > [mm] \ln(e)=1$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Di 18.12.2012 | | Autor: | Lisa12 |
ich hab mich jetzt nchmal bisschen schlau gemachtund mit kommilitonen unterhalten! vielleicht geht das wurzelkriterium doch direkt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\bruch{1}{(ln k)^k}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ln k} [/mm] und das geht gegen 0 ... könnte man das so auch machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Di 18.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich hab mich jetzt nchmal bisschen schlau gemachtund mit
> kommilitonen unterhalten! vielleicht geht das
> wurzelkriterium doch direkt:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\bruch{1}{(ln k)^k}}[/mm]
> [mm]\red{= \bruch{1}{ln k}}[/mm]
das Rote ist präzise zu ersetzen durch
[mm] $$=\lim_{k \to \infty} \frac{1}{\ln(k)}=0\,.$$
[/mm]
> und das geht gegen 0 ...
Du meinst: [mm] $1/\ln(k) \to [/mm] 0$ ($k [mm] \to \infty$). [/mm] Aber bitte mische nicht
Schreibweisen durcheinander: Wenn Du [mm] $\lim$ [/mm] irgendwo stehen hast,
wird der sicher irgendwann [mm] $=\,$ [/mm] etwas sein (außer, wenn er nicht
existiert). Ein Limes geht nicht mehr irgendwogegen...
> könnte man das
> so auch machen?
Ja! (Darauf wollte Leduart in ihrer ersten Antwort hinaus!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Di 18.12.2012 | | Autor: | Lisa12 |
vielen dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 18.12.2012 | | Autor: | Marcel |
> vielen dank!
Gerne!
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