Divergenz und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 So 04.09.2011 | | Autor: | Helbig |
| Aufgabe | | Sei [mm]\sum_{k=1}^\infty a_k[/mm] eine divergente Reihe mit positiven Gliedern. Was kann über die Konvergenz der Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty {a_k \over 1+k*a_k}[/mm] ausgesagt werden? |
Wenn [mm](a_k)[/mm] monoton fällt, divergiert die fragliche Reihe. Dies konnte ich mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz nachweisen. Aber wie sieht es ohne die Monotonievoraussetzung aus? Divergiert die Reihe [mm]\sum {a_k\over 1+k*a_k}[/mm] immer? Oder gibt es ein Gegenbeispiel? Ich bin da ziemlich ratlos.
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Hallo Helbig,
eine hübsche Aufgabe.
Hier ein Gegenbeispiel:
[mm]a_k=\begin{cases} \bruch{1}{k^2} & , k\not=2^i, i\in\IN_0 \\
1-\bruch{1}{2^i} & , k=2^i, i\in\IN_0 \end{cases}[/mm]
Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{a_k}{1+k*a_k} [/mm] ist konvergent. Ihr Grenzwert ist nicht schwer zu bestimmen, allerdings muss man über k=1 ein bisschen nachdenken.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 04.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Genial! Wie kommst Du auf sowas?
Tatsächlich: Die Reihe [mm]\sum a_k[/mm] divergiert, und die Reihe [mm]\sum {a_k \over 1+k*a_k}[/mm] konvergiert. Allerdings habe ich für den Reihenwert [mm]\sum_{n=0}^\infty{1\over 2^n+1} - {1 \over 3}[/mm] erhalten, indem ich die Summanden von [mm] 2^n [/mm] bis [mm] 2^{n+1}-1[/mm] für [mm]n\in\IN_0[/mm] zusammenfasse. Ist das richtig? Dabei ist mir [mm]k=1[/mm] nicht besonders aufgefallen. Habe ich was übersehen? Lässt sich mein Ergebnis weiter vereinfachen?
Vielen Dank und liebe Grüße,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
> Genial! Wie kommst Du auf sowas?
Hmm. Danke für die Blumen. Weiter unten mehr zur Konstruktion.
> Tatsächlich: Die Reihe [mm]\sum a_k[/mm] divergiert, und die Reihe
> [mm]\sum {a_k \over 1+k*a_k}[/mm] konvergiert. Allerdings habe ich
> für den Reihenwert [mm]\sum_{n=0}^\infty{1\over 2^n+1} - {1 \over 3}[/mm]
> erhalten, indem ich die Summanden von [mm]2^n[/mm] bis [mm]2^{n+1}-1[/mm]
> für [mm]n\in\IN_0[/mm] zusammenfasse. Ist das richtig?
Ja, das habe ich jetzt auch heraus. Ich habe die Summation doch als einfacher angesehen.
> Dabei ist
> mir [mm]k=1[/mm] nicht besonders aufgefallen. Habe ich was
> übersehen?
Das fällt auch nicht besonders auf, aber k=1 kommt halt in allen drei (oder gar vier) Summen vor, die man da betrachtet. Die Teleskopsumme hast Du völlig richtig gesehen, und offenbar den Rest auch.
> Lässt sich mein Ergebnis weiter vereinfachen?
Tja, ich sehe nicht so recht, wie das geht, obwohl die verbleibende Summe ja einen endlichen Wert von ca. 1,26449978 hat. Sagt Excel. Ich finde keine Bildungsvorschrift, obwohl ich gestern dachte, das wäre eigentlich einfach. Stimmt aber nicht. Die ganze (zweite) Reihe konvergiert gegen 0,93116645...
So, und jetzt noch zur Konstruktion. Ich habe eine Teilfolge von [mm] a_k [/mm] gesucht, so dass die erste Bedingung [mm] ($\summe{a_k}$ [/mm] divergent) erfüllt ist, und dann die zweite Bedingung betrachtet. Dabei ist der Nenner so ungemütlich zu berechnen. Wie bekommt man die 1 aus [mm] 1+k*a_k [/mm] weg? Natürlich, indem [mm] k*a_k [/mm] unter anderem eine -1 auswirft, also der Summand [mm] -\tfrac{1}{k} [/mm] in der Bildungsvorschrift für [mm] a_k [/mm] enthalten ist. Ab da ist es nicht mehr weit...
Die damit nicht erfassten Folgenglieder von [mm] a_k [/mm] füllt man dann mit einer anderen Vorschrift auf, die die erste Summation konvergeht übersteht und eben die zweite auch. Statt [mm] a_k=\tfrac{1}{k^2} [/mm] wären also viele andere Folgen möglich gewesen.
Eine wirklich elegante Lösung, die keine Fallunterscheidung braucht, habe ich aber weder gestern noch heute "auf die Schnelle" gefunden. Ich bezweifle auch, dass es eine solche Lösung gibt, freue mich aber sehr, wenn jemand das widerlegen kann.
Wahrscheinlich muss man dazu aber anders herangehen, als erst einmal nach einer Teilfolge zu suchen.
Herzliche Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 So 04.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Ah, jetzt weiß ich, was mit [mm] k=1 [/mm] los ist. Bei der Berechnung der Reihe taucht eine leere Summe auf, auf die ich blind die Teleskopregel anwende, nämlich:
[mm]\sum_{k=2^0+1}^{2^1-1} a_k - a_{k+1}=a_2-a_{2-1+1[/mm].
Dies ist aber gerechtfertigt, denn die Teleskopregel
[mm]\sum_{k=m} ^n a_k-a_{k+1}=a_{m}-a_{n+1}[/mm]
gilt auch für [mm]m=n-1[/mm], denn dann steht links die leere Summe, also 0, und rechts [mm]a_m-a_m[/mm], also auch 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 04.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Reverend hat die Frage ebenso schnell wie schön beantwortet. Aber versehentlich habe ich die Frage wieder auf "unbeantwortet" gestellt, und weiß jetzt nicht, wie ich sie auf "beantwortet" setzen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 So 04.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Aber versehentlich habe ich die Frage wieder
> auf "unbeantwortet" gestellt, und weiß jetzt nicht, wie
> ich sie auf "beantwortet" setzen kann.
Das habe ich als Moderator mal erledigt.
Marius
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