Divergenz und Rotation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Di 16.06.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
| Aufgabe | | Es sind die Vektorfelder v, n: [mm] \IR^3 [/mm] \ {0} [mm] \to \IR^3 [/mm] durch v(x) = x und n(x) = [mm] \bruch{x}{||x||} [/mm] gegeben. Berechnen Sie Divergenz und Rotation dieser Vektorfelder |
Die Berechnungformeln für div und rot hab ich verstanden. Nur weiß ich nicht wie ich die hier anwenden soll. Wir sind ja im 3-dim. Raum, aber in den Funktionsvorschriften ist nur von x die Rede. Muss ich x als Vektor mit den Komponenten [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] auffassen? Kann ich hier dann die Norm als [mm] \wurzel{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} [/mm] darstellen, so dass ich den Bruch ableiten kann? Danke
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Frage 1: Ja, x ist ein Vektor, wie dir die Funktionsvorschrift auch sagt, denn die Definitionsmenge ist [mm] \IR^3 \backslash \{0\}, [/mm] wobei auch die 0 hier den Nullvektor bezeichnet.
Frage 2: [mm] \parallel x\parallel [/mm] muss nicht notwendigerweise die von dir genannte "Standardnorm" sein, aber es könnte. Wenn du nichts anderes weißt, dann nimm die. Eine "echte" Antwort kann dir aber nur der geben, der dir die Aufgabe gestellt hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Di 16.06.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Kann es sein, dass div(v) = 3 ist, denn die partiellen Ableitungen nach [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] sind ja jeweils 1 und für die Divergenz nimmt man ja die Summe davon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Do 18.06.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Aber wie mache ich das jetzt mit der anderen Funktion. Ich kann diese Norm ja umschreiben zu [mm] \wurzel{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}, [/mm] dann schaut mein Bruch so aus [mm] \bruch{x}{\wurzel(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)}. [/mm] Den muss ich ja jetzt nacheinander nach [mm] x_1 [/mm] usw. partiell ableiten. Aber was mach ich da mit dem x im Zähler? Da x ein Vektor ist, hängt der ja eigentlich auch von [mm] x_1 [/mm] ab, oder kann ich das als Konstante ansehen.
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Hallo,
du musst hier wiederum x als Vektor sehen, wie im ersten Teil der Aufgabe. Ausgeschrieben steht dann da:
[mm] $\left( \bruch{x_1}{\wurzel{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}} \; , \; \bruch{x_2}{\wurzel{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}}\; , \; \bruch{x_3}{\wurzel{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}} \right) [/mm] $
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Di 23.06.2009 | | Autor: | pestaiia |
Hallo!
Ich habe dieselbe Aufgabe zu Lösen und wollte wissen, ob Rotation von v(x) der Nullvektor ist?
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> Hallo!
> Ich habe dieselbe Aufgabe zu Lösen und wollte wissen, ob
> Rotation von v(x) der Nullvektor ist?
Hallo,
"wollte wissen" ist nicht gut, weil die Helfer dann allein rechnen müssen.
Wir wollen aber lieber stattdessen lieber sehen, was Du gerechnet hast - dies für die Zukunft.
rot [mm] \vec{v}=\vec{0}, [/mm] das stimmt.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:36 Di 23.06.2009 | | Autor: | pestaiia |
Und ist [mm] div\vec{n}=-\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}?
[/mm]
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> Und ist [mm]div\vec{n}=-\wurzel{x_1^2+x_2^2+x_3^2}?[/mm]
Hallo,
wie lauten Deine partiellen Ableitungen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Di 23.06.2009 | | Autor: | pestaiia |
Für die Ableitung nach [mm] x_1 [/mm] hab [mm] ich:-x_1^2/(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{1/2}
[/mm]
für die Ableitungen nach [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] ändert sich nichts außerdas im Zähler [mm] x_2 [/mm] bzw. [mm] x_3 [/mm] steht.
Gruß
Pestaiia
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> Für die Ableitung nach [mm]x_1[/mm] hab
> [mm]ich:-x_1^2/(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{1/2}[/mm]
> für die Ableitungen nach [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] ändert sich nichts
> außerdas im Zähler [mm]x_2[/mm] bzw. [mm]x_3[/mm] steht.
>
> Gruß
> Pestaiia
Hallo,
das ist ja nicht richtig.
Wenn Du [mm] f(x_1)=x_1/(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{1/2} [/mm] nach [mm] x_1 [/mm] ableitest, mußt Du das ja nach der Quotientenregel tun, und man erhält
[mm] f'(x_1)=\bruch{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{1/2}*1-x_1*(\bruch{2x_1}{2}*(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-1/2})}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{1/2}*1-x_1^2*(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-1/2})}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-x_1^2}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{3/2}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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