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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das integral [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1+cos(1/x)}{x^{2}} dx} [/mm] divergent ist. |
Hallo Leute. Kann mir jemand mit diser Aufgabe bitte helfen? Ich hab schon rausgefunden, dass man in zwei integralen aufteilen muss; von 0 bis 1 und von 1 bis [mm] \infty. [/mm] Das letzte ist konvergent, also muss das erste das divergente sein. Aber wie kann man das zeigen?
Ich hab schon probiert, mit einer anderer Funktion zu vergleichen, die kleiner ist und auch divergent, hab aber keine gefunden. Das problem ist, dass [mm] \bruch{1+cos(1/x)}{x^{2}} [/mm] immer die Werte 0 bekommt, wenn x = [mm] \bruch{1}{\pi+k*2\pi} [/mm] und dann kann ja keine Funktion richtig kleiner sein oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass das integral
> [mm]\integral_{0}^{\red{\infty}}{\bruch{1+cos(1/x)}{x^{2}} dx}[/mm] divergent
> ist.
> Hallo Leute. Kann mir jemand mit diser Aufgabe bitte
> helfen? Ich hab schon rausgefunden, dass man in zwei
> integralen aufteilen muss; von 0 bis 1 und von 1 bis
> [mm]\infty.[/mm]
von müssen kann keine Rede sein. Aber das ist sicherlich eine sinnvolle Methode. Also [mm] $\int_0^\infty=\int_0^\delta +\int_\delta^\infty$ [/mm] wäre "allgemein" sicherlich möglich, wenn man irgendein [mm] $\delta [/mm] > 0$ fest wählt. Du nimmst halt speziell [mm] $\delta=1$.
[/mm]
> Das letzte ist konvergent, also muss das erste das
> divergente sein. Aber wie kann man das zeigen?
>
> Ich hab schon probiert, mit einer anderer Funktion zu
> vergleichen, die kleiner ist und auch divergent, hab aber
> keine gefunden. Das problem ist, dass
> [mm]\bruch{1+cos(1/x)}{x^{2}}[/mm] immer die Werte 0 bekommt, wenn x
> = [mm]\bruch{1}{\pi+k*2\pi}[/mm] und dann kann ja keine Funktion
> richtig kleiner sein oder?
Substituiere mal [mm] $y:=\frac{1}{x}$, [/mm] dann folgt (mit [mm] $r:=\frac{1}{\varepsilon}$):
[/mm]
[mm] $\int_0^1 \frac{1+\cos(1/x)}{x^2}dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1\frac{1+\cos(1/x)}{x^2}dx=\lim_{r \to +\infty}\int_r^1 -(1+\cos(y))dy=\lim_{r \to +\infty}\int_1^r (1+\cos(y))dy$
[/mm]
Und dass der letzte Grenzwert rechterhand [mm] $\infty$ [/mm] ist:
Für o.E. $r > 1$ (wegen $r [mm] \to +\infty$) [/mm] gilt
[mm] $\int_1^r (1+\cos(y))dy=(r-1)-(\sin(r)-\sin(1))=r-(1+\sin(r)-\sin(1))$
[/mm]
Und es ist [mm] $r-(1+\sin(r)-\sin(1)) \ge r-|1+\sin(r)-\sin(1)| \ge r-(|1|+|\sin(r)|+|\sin(1)|) \ge [/mm] r-3$. Also was passiert bei $r [mm] \to +\infty$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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