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Divergenz, wie immer....: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 So 21.11.2004
Autor: misterbecks

[mm] (\wurzel[n]{n!}) [/mm] divergiert, [mm] n\in\IN [/mm]

Ich versuche es die ganze Zeit über die Unbeschränktheit. Aber so wirklich gelingt es mir nicht.....und die Zeit bis zur Abgabe kommt bedrohlich näher....

Kann mir jemand helfen?

        
Bezug
Divergenz, wie immer....: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 So 21.11.2004
Autor: Hanno

Hallo!

Ich habe mal eine Lösung zusammengeschustert, von der ich aber nicht glaube, dass sie die Musterlösung zu der Aufgabe darstellt. Daher ist dies auch bloß ein Mitteilungsartikel:

Es gilt:
[mm] $3>\left( 1+\frac{1}{n}\right) [/mm] ^n$
(1) [mm] $\gdw 3\cdot n^n> (n+1)^n$ [/mm]

Wir zeigen nun über vollständige Induktion, dass gilt:
[mm] $3^n\cdot n!>n^n$ [/mm]
Induktionsverankerung n=1: [mm] $3\cdot [/mm] 1=3>1$ - Richtig.
Induktionsschritt:
[mm] $3^{n+1}\cdot (n+1)!=3^{n}\cdot n!\cdot 3\cdot (n+1)>3\cdot n^n\cdot [/mm] (n+1)$
Nach (1) gilt:
$... > [mm] (n+1)^n\cdot (n+1)=(n+1)^{n+1}$. [/mm]

Damit gilt:
[mm] $3^n\cdot n!>n^n$ [/mm]
[mm] $\sqrt[n]{n!}>\frac{n}{3}$ [/mm]

Da die Folge [mm] $a_n=\frac{n}{3}$ [/mm] divergiert, divergiert also auch [mm] $\sqrt[n]{n!}$, [/mm] was zu zeigen war.


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
        
Bezug
Divergenz, wie immer....: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:25 So 21.11.2004
Autor: Marc

Hallo misterbecks!

> [mm](\wurzel[n]{n!})[/mm] divergiert, [mm]n\in\IN [/mm]
>  
> Ich versuche es die ganze Zeit über die Unbeschränktheit.
> Aber so wirklich gelingt es mir nicht.....und die Zeit bis
> zur Abgabe kommt bedrohlich näher....

Unbeschränktheit ist doch sehr gut, ich formuliere es mal ziemlich locker (dir ist dann überlassen, es zu präzisieren ;-))

Sei [mm] S\in\IR [/mm] beliebig vorgegeben.

Ich wähle [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $2*m\ge S^2$ [/mm] und behaupte, dass

[mm] $\wurzel[2m]{(2m)!}\ge [/mm] S$ (*)
[mm] $\Leftarrow$ $(2m)!\ge S^{2m}$ [/mm]
[mm] $\Leftarrow$ $\underbrace{1*\ldots*m*(m+1)*\ldots*(2m)}_{2m \mbox{\scriptsize Faktoren}}\ge S^{2m}$ [/mm]

Jetzt sortiere ich die zweite Hälfte etwas um, spiegele sie gewissermaßen am m:

[mm] $\Leftarrow$ $\overbrace{\underbrace{1*(2m)}_{\ge 2m\ge S^2}*\underbrace{2*(2m-1)}_{\ge 2m\ge S^2}*\underbrace{3*(2m-2)}_{\ge 2m\ge S^2}*\ldots*\underbrace{m*(m+1)}_{\ge 2m\ge S^2}}^{2m \mbox{\scriptsize Faktoren}}\ge S^{2m}$ [/mm]

Diese Ungleichung gilt also, und damit auch (*)

Für alle [mm] $n\ge [/mm] 2m$ gilt natürlich erst recht [mm] $n\ge 2m\ge S^2\ge [/mm] S$, also [mm] $n\ge [/mm] S$.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                
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Divergenz, wie immer....: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Mo 22.11.2004
Autor: FriedrichLaher

Hallo marc,

wäre es nicht auch, weil doch $ [mm] \integral_{1}^{n} {\ln x \text{ dx} < \summe_{x=1}^{n} \ln x}$, [/mm] zulässig und einfacher

[mm] $\ln \sqrt[n]{n!}$ [/mm] zu bestimmen und die ln Summe durch's minorante Integral zu ersetzen?

Bezug
                        
Bezug
Divergenz, wie immer....: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Mo 22.11.2004
Autor: Marc

Hallo Friedrich,

> wäre es nicht auch, weil doch [mm]\integral_{1}^{n} {\ln x \text{ dx} < \summe_{x=1}^{n} \ln x}[/mm],
> zulässig und einfacher
>  
> [mm]\ln \sqrt[n]{n!}[/mm] zu bestimmen und die ln Summe durch's
> minorante Integral zu ersetzen?

ich habe es gerade nachvollzogen und es funktioniert! :-)

Damit ist das eine geschickte Lösung, nur verwendet sie ja "noch höhere Mathematik" als Folgen (nämlich Integration, die ja auf dem Folgenbegriff aufbaut und vielleicht noch  gar nicht in der Vorlesung des Fragestellers behandelt wurde). Ausserdem müßte man ja auch noch zeigen, dass deine Beziehung zwischen Integral und Summe so stimmt (dürfte aber aus der strengen Monotonie des [mm] $\ln$ [/mm] sofort folgen).

Viele Grüße,
Marc

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