Diverses < VK 37: Kurvendiskussionen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 |
Wie lauten die Scheitelformen und Umkehrfunktionen folgender Parabelgleichungen?
a) [mm] y=x^2-8x+20
[/mm]
b) [mm] y=4x^2+6x-3
[/mm]
c) [mm] y=-3x^2+3x+5
[/mm]
|
| Aufgabe 2 |
In welchen Punkten schneidet die Gerade mit der Gleichung y=2x+1
a) die Parabel mit der Gleichung [mm] y=-x^2+4
[/mm]
b) die Hyperbel mit der Gleichung [mm] y=x^{-1}
[/mm]
c) den Kreis mit der Gleichung [mm] x^2+y^2=9?
[/mm]
|
| Aufgabe 3 |
Gegeben sei die Parabel mit der Gleichung [mm] y=-x^2-6x-7.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Parabel.
b) Geben Sie die Scheitelpunktform der Parabelgleichung an und vergleichen Sie mit der Normalparabel.
c) Bestimmen sie die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}, [/mm] und geben Sie ihren Definitionsbereich an.
|
| Aufgabe 4 |
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion mit der Gleichung [mm] y=x^4-7x^3+8x^2+11x-5
[/mm]
|
| Aufgabe 5 |
Gegeben sei die Funktion mit [mm] f(x)=y=2*sin(\bruch{x}{3}-\pi)+1
[/mm]
a) Wie unterscheidet sich diese von der normalen Sinusfunktion?
b) Ist sie beschränkt? Wenn ja, geben Sie die Schranken an. (Also beschränkt in ihrer Amplitude)
|
|
|
| |
|
a) [mm] y=x^2-8x+20
[/mm]
Man soll die Scheitelform und die Umkehrfunktion berechnen !
Ich komme zuerst kurz auf den Begriff "Umkehrfunktion". Habe in Wiki gefunden, dass bei einer Umkehrfunktion die Definitions- und Wertemengen der ursprünglichen Funktion vertauscht werden.
Auch gilt:
Um eine Umkehrfunktion zu bestimmen, löse ich jede Gleichung nach x auf und vertausche dann x und y, oder
Um eine Umkehrfunktion zu bestimmen, vertausche ich zuerst x und y und löse dann nach y auf.
Bei richtiger Berechnung ist der Graph der Umkehrfunktion eine Spiegelung der Ausgangsfunktion und zwar gespiegelt an der Achse y=x (Winkelhalbierende)
zur Scheitelform:
Die Scheitel(punkt)form einer Funktion f(x) heißt:
f(x) = (x - [mm] x_s)^2 [/mm] + [mm] y_s [/mm] mit dem Scheitelpunkt S [mm] [x_s [/mm] | [mm] y_s]
[/mm]
Ich muss also aus der o.a. "Normalform" der Funktion die Scheitelform berechnen ! Bei einer "normalen Parabel" wie der quadratischen Funktion [mm] f(x)=ax^2 [/mm] +bx + c macht man dies durch quadratische Ergänzung [mm] +(\bruch{b}{2})^2 [/mm] - [mm] (\bruch{b}{2})^2 [/mm] und erhält nach Ausklammern von a im ersten Teil der Funktion und Umwandlung in eine binomische Formel sowie "Angleichung des Vorzeichens in der Klammer an die allgemeine Scheitelform:
f(x)= a(x - [mm] \bruch{-b}{2a})^2 [/mm] + [mm] \bruch{4ac-b^2}{4a}
[/mm]
[mm] x_s [/mm] = [mm] \bruch{-b}{2a}
[/mm]
[mm] y_s [/mm] = [mm] \bruch{4ac-b^2}{4a}
[/mm]
Für unsere Funktion bedeutet dies, das [mm] x_s [/mm] = [mm] -\bruch{-8}{2} [/mm] = 4 und
[mm] y_s [/mm] = [mm] \bruch{(4*1*20 - (-8)^2)}{4*1} [/mm] = 4 ist,
der Scheitelpunkt S [mm] [x_s [/mm] | [mm] y_s] [/mm] heißt also S [4 | 4] und
die Scheitelform heißt demnach:
f(x) = (x - [mm] 4)^2 [/mm] + 4
Die Umkehrfunktion von f(x) muss dann, wie o.a. eigentlich wie folgt lauten:
f(y) = x = [mm] y^2 [/mm] - 8y + 20 das ist die Ausgangsfunktion, da ich aber schon die Scheitelform der Funktion habe, kann ich diese auch erst nach x auflösen und anschließend x und y vertauschen !
aus [mm] y=(x-4)^2+4 [/mm] wird nach | -4
[mm] y-4=(x-4)^2 [/mm] und nach | [mm] \wurzel
[/mm]
[mm] \wurzel{y-4}=x-4 [/mm] und nach | +4 heißt es:
[mm] x=\wurzel{y-4}+4
[/mm]
Jetzt vertauscht man x und y und erhält die Umkehrfunktion:
[mm] y=\wurzel{x-4}+4
[/mm]
Wie man hier sieht, wurde hier aus einer quadratischen Funktion eine Wurzelfunktion !
Anmerkung: habe die anderen Aufgaben dieses Aufgabenblattes auch schon gerechnet und setze sie demnächst rein... (mit der Sinusfunktion hatte ich so meine Problemchen...). Zur Aufgabe 1. a) wollte ich nur wissen, ob die Berechnung so stimmt, oder ob ich es noch ausführlicher machen soll (Ist die Herleitung der Scheitelform einer quadratischen Funktion mit dem Hinweis auf die Diskriminante D der quadratischen Gleichung als bekannt vorauszusetzen oder muss man sie auch mit angeben ?)
Schachschorsch
|
|
|
| |
|
Interessant, auch ich lerne also ständig dazu :) Dass es eine allgemeine Form zur Scheitelpunktsbestimmung gibt, wusste ich nicht , sprich, ich habe es immer selber ausgerechnet und auf keine allgemeine Form zurückgegriffen. Im Folgenden werde ich das deshalb auch einfach für dich ausrechnen, dann sehen wir ja, ob die Ergebnisse übereinstimmen. Ansonsten aber ein großes Kompliment, du scheinst dich sehr gut zu informieren, und soweit gesehen war auch alles richtig:
> a) [mm]y=x^2-8x+20[/mm]
>
> Man soll die Scheitelform und die Umkehrfunktion berechnen
> !
>
> Ich komme zuerst kurz auf den Begriff "Umkehrfunktion".
> Habe in Wiki gefunden, dass bei einer Umkehrfunktion die
> Definitions- und Wertemengen der ursprünglichen Funktion
> vertauscht werden.
>
> Auch gilt:
>
> Um eine Umkehrfunktion zu bestimmen, löse ich jede
> Gleichung nach x auf und vertausche dann x und y, oder
> Um eine Umkehrfunktion zu bestimmen, vertausche ich zuerst
> x und y und löse dann nach y auf.
> Bei richtiger Berechnung ist der Graph der Umkehrfunktion
> eine Spiegelung der Ausgangsfunktion und zwar gespiegelt an
> der Achse y=x (Winkelhalbierende)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zur Scheitelform:
>
> Die Scheitel(punkt)form einer Funktion f(x) heißt:
>
> f(x) = (x - [mm]x_s)^2[/mm] + [mm]y_s[/mm] mit dem Scheitelpunkt S [mm][x_s[/mm] |
> [mm]y_s][/mm]
>
> Ich muss also aus der o.a. "Normalform" der Funktion die
> Scheitelform berechnen ! Bei einer "normalen Parabel" wie
> der quadratischen Funktion [mm]f(x)=ax^2[/mm] +bx + c macht man dies
> durch quadratische Ergänzung [mm]+(\bruch{b}{2})^2[/mm] -
> [mm](\bruch{b}{2})^2[/mm] und erhält nach Ausklammern von a im
> ersten Teil der Funktion und Umwandlung in eine binomische
> Formel sowie "Angleichung des Vorzeichens in der Klammer an
> die allgemeine Scheitelform:
>
> f(x)= a(x - [mm]\bruch{-b}{2a})^2[/mm] + [mm]\bruch{4ac-b^2}{4a}[/mm]
>
> [mm]x_s[/mm] = [mm]\bruch{-b}{2a}[/mm]
>
> [mm]y_s[/mm] = [mm]\bruch{4ac-b^2}{4a}[/mm]
>
> Für unsere Funktion bedeutet dies, das [mm]x_s[/mm] = [mm]-\bruch{-8}{2}[/mm]
> = 4 und
>
> [mm]y_s[/mm] = [mm]\bruch{(4*1*20 - (-8)^2)}{4*1}[/mm] = 4 ist,
>
> der Scheitelpunkt S [mm][x_s[/mm] | [mm]y_s][/mm] heißt also S [4 | 4] und
>
> die Scheitelform heißt demnach:
>
> f(x) = (x - [mm]4)^2[/mm] + 4
erlaube mir, das ganze einmal durchzurechnen, wie ich es ohne allgemeien Formel gemacht hätte ^^
$ [mm] y=x^2-8x+20=(x-4)^2-16+20=(x-4)^2+4 [/mm] $
Wow, es stimmt XD
Also meine Variante ging jetzt sehr schnell, dein Ausrechnen wird länger gedauert haben. Natürlich kann man die Rechenschritte aber verallgemeinern und erhält die Angaben, die du benutzt hast, um die Form direkt anzugeben. Dies ist vor allem dann vorteilhaft, wenn die Funktion sehr kompliziert ist und man noch ausklammern müsste, denn quadratische Ergänzung geht nur mit [mm] x^2 [/mm] ohne einen Faktor davor. Für deinen Sohn sollte aber quadratische Ergänzung ein Stichwort sein, also schlage ich vor, ihr nutzt die allg. Rechnung zur Probe und rechnet dennoch "von Hand" die Scheitelpunktsform aus.
Dazu ein Beispiel:
$ [mm] y=4x^2+40x-12=4*(x^2+10x-3)=4*((x+5)^2-25-3)=4*((x+5)^2-28)=4(x+5)^2-112 [/mm] $
> Die Umkehrfunktion von f(x) muss dann, wie o.a. eigentlich
> wie folgt lauten:
>
> f(y) = x = [mm]y^2[/mm] - 8y + 20 das ist die Ausgangsfunktion, da
> ich aber schon die Scheitelform der Funktion habe, kann ich
> diese auch erst nach x auflösen und anschließend x und y
> vertauschen !
>
> aus [mm]y=(x-4)^2+4[/mm] wird nach | -4
>
> [mm]y-4=(x-4)^2[/mm] und nach | [mm]\wurzel[/mm]
>
> [mm]\wurzel{y-4}=x-4[/mm] und nach | +4 heißt es:
>
> [mm]x=\wurzel{y-4}+4[/mm]
>
> Jetzt vertauscht man x und y und erhält die
> Umkehrfunktion:
>
> [mm]y=\wurzel{x-4}+4[/mm]
>
> Wie man hier sieht, wurde hier aus einer quadratischen
> Funktion eine Wurzelfunktion !
Sehr schön, habe selbst einen dummen Fehler gemacht, wie man sieht kann man eigentlich nur die Umkehrfunktion bestimmen, NACHDEM man die Scheitelpunktsform hat! Denn sonst hätte man zwei x-Argumente, mit denen ich so meine Probleme hatte. Dein Ergebnis ist richtig und deine Vorgehensweise auch.
Abschließende Worte zum Definitionsbereich vor und danach:
Vorher war D = [mm] \IR, [/mm] x konnte also alle Werte annehmen.
W (der Wertebereich, die Menge für y, also alle y-Werte) war gemäß der Scheitelpunktsform x [mm] \in \IR [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 4, denn die Parabel ist um 4 nach oben verschoben, das bedeuten die +4 am Ende der Parabelgleichung!
Schau dir jetzt einmal die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] (Symbol für die Umkehrfunktion) an:
D= x [mm] \in \IR, [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 4, denn die Wurzel darf nicht negativ sein!
[mm] W=\IR^+
[/mm]
Das bedeutet, Werte- und Definitiosbereich haben getauscht. Zumindest der neue Definitionsbereich entsprich 1:1 dem alten Wertebereich. Einschränkungen gibt es beim neuen Wertebereich, denn die Wurzelfunktion verläuft nur im positiven, es gibt also keine negativen Funktionswerte, also nur positive y-Werte. Der Alte Definitionsbereich galt jedoch für gesamt [mm] \IR. [/mm] Das ist eine wichtige Eigenschaft der Umkehrfunktionen von Parabeln und anderen Funktionen. Es kann nur ein Teil der Parabel umgekehrt werden! Wir haben also quasi nur den positiven Teil der Parabel, im 1. Quadranten, umgekehrt. Dann wäre auch D nur [mm] \IR^+ [/mm] gewesen, und dann stimmt die Vertauschung exakt
>
> Anmerkung: habe die anderen Aufgaben dieses Aufgabenblattes
> auch schon gerechnet und setze sie demnächst rein... (mit
> der Sinusfunktion hatte ich so meine Problemchen...). Zur
> Aufgabe 1. a) wollte ich nur wissen, ob die Berechnung so
> stimmt, oder ob ich es noch ausführlicher machen soll (Ist
> die Herleitung der Scheitelform einer quadratischen
> Funktion mit dem Hinweis auf die Diskriminante D der
> quadratischen Gleichung als bekannt vorauszusetzen oder
> muss man sie auch mit angeben ?)
> Schachschorsch
>
>
>
|
|
|
| |
|
1.a) schon einzeln berechnet
1.b) [mm] y=4x^2+6x-3
[/mm]
Wie ich in Aufgabe 1.a) gezeigt hatte, muss man zuerst die Scheitelform und anschließend die Umkehrfunktion berechnen.
Auch diesmal ist die Funktion eine quadratische Gleichung, deren Umkehrfunktion auch wieder eine Wurzelfunktion sein dürfte.
Wie schon gezeigt, hatte ich die Funktion in die allgemeine Scheitelform:
f(x) = (x - [mm] x_s)^2 [/mm] + [mm] y_s [/mm] gebracht (mit Scheitelpunkt S [mm] [x_s [/mm] | [mm] y_s])
[/mm]
Für die allgemeine quadratische Funktion f(x) = [mm] ax^2 [/mm] + bx + c bedeutete dies für die Scheitelform:
f(x) = a(x - [mm] \bruch{-b}{2a})^2 [/mm] + [mm] \bruch{4ac -b^2}{4a},
[/mm]
wobei S [mm] [\bruch{-b}{2a} [/mm] | [mm] \bruch{4ac -b^2}{4a}] [/mm] ist.
In Aufgabe 1.a) hatte ich nun zuerst S berechnet, in die neue Funktion eingesetzt und anschließend die Scheitelform in die Umkehrfunktion umgewandelt.
Nun versuche ich, die Allgemeinform in die Umkehrfunktion umzuwandeln ! Das Einsetzen der Werte erfolgt dann erst danach !
Dazu gebe ich der Umkehrfunktion noch den (von mir im Internet) gefundenen) Abkürzungsnamen: [mm] f^{-1}(x).
[/mm]
Diese neue Funktion entsteht aus der Umkehrung der Funktion f(x).
Wir nehmen also
f(x) = y = a(x - [mm] \bruch{-b}{2a})^2 [/mm] + [mm] \bruch{4ac -b^2}{4a} [/mm] | - [mm] \bruch{4ac -b^2}{4a}
[/mm]
y - [mm] \bruch{4ac -b^2}{4a}= [/mm] a(x - [mm] \bruch{-b}{2a})^2 [/mm] | : a
[mm] \bruch{y - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a} [/mm] = (x - [mm] \bruch{-b}{2a})^2 [/mm] | [mm] \wurzel
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{y - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a}} [/mm] = x - [mm] \bruch{-b}{2a} [/mm] | + [mm] \bruch{-b}{2a} [/mm] nun stellt man die Gleichung um und erhält
x = [mm] \wurzel{\bruch{y - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a}} [/mm] + [mm] \bruch{-b}{2a} [/mm] man könnte noch das a aus der Wurzel nehmen und hat dann:
x = [mm] \wurzel {a^{-1}}\wurzel{y - \bruch{4ac-b^2}{4a}} [/mm] + [mm] \bruch{-b}{2a}
[/mm]
Das lassen wir aber lieber, gibt nur Probleme mit der Wurzel, falls a negative Werte hat...)
Wir arbeiten weiter mit x = [mm] \wurzel{\bruch{y - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a}} [/mm] + [mm] \bruch{-b}{2a}
[/mm]
Jetzt bekommt man die Umkehrfunktion, indem man x und y vertauscht und erhält
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a}} [/mm] + [mm] \bruch{-b}{2a} [/mm] (= Umkehrfunktion von [mm] f(x)=ax^2+bx+c)
[/mm]
Wie man erkennen kann, tauchen in dieser Funktion auch die Werte [mm] x_s [/mm] und [mm] y_s [/mm] auf !, man könnte die Umkehrfunktion also auch so schreiben:
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x - y_s}{a}} [/mm] + [mm] x_s
[/mm]
Ich hoffe, dass diese Abhandlung so richtig und für alle verständlich ist ! Es geht sicher einfacher und schneller mit quadratischer Ergänzung und Umstellen der Gleichung, aber ich wollte den allgemeinen Fall 1 x durchrechnen...Bei der nächsten Aufgabe spare ich mir das denn...
Nun aber endlich zur eigentlichen Aufgabe...
1.b) Wie lauten Scheitelform und Umkehrfunktion der Parabel
[mm] y=4x^2+6x-3 [/mm] ?
Wir können uns nun die in Aufgabe 1.a) benutzte quadratische Ergänzung sparen und S direkt bestimmen !
[mm] x_s [/mm] = [mm] -\bruch{b}{2a} [/mm] = [mm] -\bruch{6}{8} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] y_s [/mm] = [mm] \bruch{4ac-b^2}{4a} [/mm] = [mm] \bruch{4*4*-3-36}{4*4} [/mm] = [mm] -\bruch{84}{16} [/mm] = [mm] -\bruch{21}{4} [/mm] mit S [mm] [-\bruch{3}{4} [/mm] | [mm] -\bruch{21}{4}]
[/mm]
die Scheitelform der Parabel heißt somit:
f(x) = [mm] 4(x-\bruch{-3}{4})^2+\bruch{-21}{4} [/mm] = [mm] 4(x+\bruch{3}{4})^2-\bruch{21}{4}
[/mm]
Die Umkehrfunktion der Parabel lautet dann:
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x - y_s}{a}} [/mm] + [mm] x_s [/mm] und falls man [mm] x_s [/mm] und [mm] y_s [/mm] noch nicht hat nimmt man:
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a}} [/mm] + [mm] \bruch{-b}{2a} [/mm] nun setzt man a,b, und c ein
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x - \bruch{4*4*-3 -6^2}{4*4}}{4}} [/mm] + [mm] \bruch{-6}{2*4}
[/mm]
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] -\bruch{3}{4}+\wurzel{\bruch{x+\bruch{21}{4}}{4}}
[/mm]
Wie in Aufgabe 1.a) wurde aus der quadratischen Funktion f(x) die mit Wurzel ausgestattete Umkehrfunktion [mm] f^{-1}(x) [/mm]
1.c) [mm] y=-3x^2+3x+5
[/mm]
Ich setze a, b und c gleich in die in den Aufgaben 1.a) und b) benutzten Formeln ein und erhalte für
die Scheitelform [mm] f(x)=-3(x-\bruch{1}{2})^2+\bruch{23}{4} [/mm] (übrigens: man kann schnell mal den Faktor a vor der Klammer vergessen, war mir gerade auch passiert...) und für
die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x - y_s}{a}} [/mm] + [mm] x_s [/mm] oder ohne [mm] x_s [/mm] und [mm] y_s [/mm] mit
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a}} [/mm] + [mm] \bruch{-b}{2a} [/mm] nun setzt man a,b, und c ein
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x - \bruch{4*-3*5 -3^2}{4*-3}}{-3}} [/mm] + [mm] \bruch{-3}{2*-3}
[/mm]
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x - \bruch{23}{4}}{-3}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Beim Betrachten der Umkehrfunktion stellt man fest, dass die Wurzel nicht negativ werden darf. Nur bei [mm] x\le\bruch{23}{4} [/mm] gibt es einen Wert. Der Wertebereich der Ausgangsfunktion ist zum Definitionsbereich der Umkehrfunktion geworden !
Damit ist die Umkehrfunktion definiert für D = (x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \le \bruch{23}{4})
[/mm]
Aufgabe 2 (Schnittpunkte berechnen):
gegeben ist die Gerade y = 2 x + 1
a) Parabel y = [mm] -x^2 [/mm] + 4
Ich setze die Terme gleich
2x + 1 = [mm] -x^2 [/mm] +4 und erhalte die quadratische Gleichung [mm] x^2 [/mm] + 2x -3 = 0
Dies ergibt nach der Mitternachts-(oder pq)-Formel die Werte [mm] x_1_2 [/mm] = -3 und 1. Durch Einsetzen der Werte in eine der Funktionsgleichungen ergeben sich die zwei Schnittpunkte [mm] S_1 [/mm] [-3 | -5] und [mm] S_2 [/mm] [1 | 3]
b) Hyperbel y = [mm] x^{-1}
[/mm]
nach Gleichsetzen gilt:
[mm] x^{-1} [/mm] = 2x + 1 für x [mm] \not= [/mm] 0
2x - [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + 1 = 0 | * x (deshalb darf x auch nicht 0 sein)
[mm] 2x^2 [/mm] + x - 1 = 0
ergibt die Schnittpunkte [mm] S_1 [\bruch{1}{2} [/mm] | 2] und [mm] S_2 [/mm] [-1 | -1]
c) Kreis [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 9
zuerst muss ich die Kreisformel nach y auflösen und erhalte nach [mm] -x^2 [/mm] und [mm] \wurzel: [/mm] y = [mm] \{9-x^2} [/mm] (besser ist es vielleicht, die Geradengleichung zu quadrieren !)
Nach Gleichsetzen der Terme erhalte ich
2 x + 1 = [mm] \wurzel{9-x^2} [/mm] | quadrieren ! ergibt (auch wieder den vollen Kreis !):
[mm] 9-x^2 [/mm] = [mm] 4x^2 [/mm] + 4x +1 (warum nicht gleich so...?)
[mm] 5x^2 [/mm] + 4x - 8 = 0 (man kann die 5 nun ausklammern und erhält:
[mm] 5(x^2 [/mm] + [mm] \bruch{4}{5}x-\bruch{8}{5}) [/mm] = 0 oder die quadratische Gleichung gleich ausrechnen...)
man erhält [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{2\wurzel{11}-2}{5}
[/mm]
und für [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{-2\wurzel{11}-2}{5}
[/mm]
Nach Einsetzen der x-Werte in eine der Funktionsgleichungen erhält man die beiden Schnittpunkte
S1 [mm] [\bruch{2\wurzel{11}}{5}-\bruch{2}{5} [/mm] | [mm] \bruch{4\wurzel{11}}{5}+\bruch{1}{5}] [/mm] und
S2 [mm] [-\bruch{2\wurzel{11}}{5}-\bruch{2}{5} [/mm] | [mm] \bruch{1}{5}-\bruch{4\wurzel{11}}{5}] [/mm]
Aufgabe 3
gegeben ist die Parabel y = [mm] -x^2 [/mm] - 6x -7
a) berechne die Nullstellen
Bei der Berechnung der Nullstellen muss gelten f(x) = 0
0 = [mm] -x^2 [/mm] - 6x -7 daraus folgt
[mm] x_1_2 [/mm] = -3 [mm] \pm\wurzel{2}
[/mm]
b) Umwandeln in die Scheitelpunktform
y = [mm] -x^2 [/mm] -6x -7 | * (-1) ist praktischer
-y = [mm] x^2 [/mm] +6x +7 | quadratische Ergänzung auf der rechten Seite
-y = [mm] x^2 [/mm] +6x [mm] +3^2 [/mm] - [mm] 3^2 [/mm] +7
-y = [mm] (x+3)^2 [/mm] -2 | *(-1)
y = [mm] -(x+3)^2 [/mm] +2
gemäß der allgemeinen Scheitel(punkt)form f(x0) = [mm] (x-x_s)^2 [/mm] + [mm] y_s [/mm] (hier kommt noch das Minuszeichen vor die Klammer als Ausdruck, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, hinzu)
Der Scheitelpunkt hat die Werte [mm] x_s [/mm] = -3 und [mm] y_s [/mm] = 2
Ich nehme nochmal Bezug auf die Normalparabel:
Da sie die Form von [mm] x^2 [/mm] hat, müssen x_ und y_ etwas bedeuten. Und zwar bedeutet [mm] x_s [/mm] eine Verschiebung auf der x-Achse und [mm] y_s [/mm] eine auf der y-Achse. Mit einem Scheitelpunkt S (-3>2) ist die Parabel im Gegensatz zur Normalparabel um 3 nach links und um 2 nach oben verschoben ! Das ist wichtig zu merken, da dies auch bei allen anderen Funktionen auftritt ! sin (x+1) ist um 1 nach links verschoben, [mm] e^x [/mm] + 4 um 4 nach oben, etc. etc.
c) Umkehrfunktion und Definitionsbereich
Für die Berechnung der Umkehrfunktion benutzen wir die Formel aus Aufgabe 1.c):
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a}} [/mm] + [mm] \bruch{-b}{2a} [/mm] nun setzt man a,b, und c ein, wir erhalten
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \wurzel{2-x}-3
[/mm]
Die Umkehrfunktion hat im Gegensatz zur Ausgangsfunktion einen eingeschränkten Definitionsbereich ! D= x [mm] \IN \IR, [/mm] für x [mm] \le [/mm] 2, denn die Wurzel darf nicht negativ sein !
Der Graph der Umkehrfunktion fängt bei x = 2 (Punkt [2 | -3] an, verläuft nach links, schneidet die y-Achse beim Punkt [mm] [\wurzel{2} [/mm] | -3]und die x-Achse beim Punkt [-7 | 0] und steigt dann langsam an, erreicht aber bei x=-9998 als y-Wert gerade mal 97 !
Der Wertebereich der Ursprungsfunktion hatte zwar auch (beim Scheitelpunkt) seine Grenze, die Werte der Umkehrfunktion sind aber stärker eingeschränkt und haben für W bei y = -3 ihre negative Grenze.
Aufgabe 4. Nullstellenbestimmung
[mm] y=x^4-7x^3+8x^2+11x-5
[/mm]
Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion 4.Grades. Zur Nullstellenberechnung kann man die Polynomdivision benutzen. Dabei wird die Gleichung gleich Null gesetzt. und man versucht, den Term in einzelne Faktoren zu zerlegen. Zuvor versucht man es ggf. mit Ausklammern von x. Falls dies zu quadratischen Termen 2.Grades führt, kann man diese mit den Binomischen Formeln zerlegen.
Es gibt aber auch einige andere Möglichkeiten wie das "Horner Schema", auf das ich jetzt nicht eingehen möchte, da mir von diesem Schema lediglich der Name bekannt ist...
Bei der vorliegenden Funktion sah ich recht schnell, dass ein Ausklammern wenig Sinn machte.
Aus dem Internet hatte ich einen Tipp bekommen, wie man den ersten Faktor einer Polynomdivision ermitteln kann...
Und zwar durch Ausprobieren !
Der erste Faktor einer Polynomdivision von der Form (x - [mm] x_0) [/mm] ist meistens ganzzahlig und liegt im Bereich [mm] \pm [/mm] Null !
Man kann sich eine kleine Wertetabelle ausdenken und von der 0 ausgehend ganzzahlige positive und negative Werte von [mm] x_0 [/mm] ausprobieren.
Das tat ich dann auch bei dieser Aufgabe. Bereits bei [mm] x_0 [/mm] = -1 hatte ich einen Treffer. Man musste also den gleich Null gesetzten Term durch (x - [mm] x_0) [/mm] in diesem Fall also (x + 1) teilen !
zuerst also:
[mm] x^4 [/mm] - [mm] 7x^3 +8x^2 [/mm] + 11x - 5 = 0 | linken Term durch (x + 1) teilen
[mm] x^4 [/mm] - [mm] 7x^3 +8x^2 [/mm] + 11x - 5 : (x + 1) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] + 16x - 5
[mm] -(x^4 [/mm] + [mm] x^3)
[/mm]
0 - [mm] 8x^3 +8x^2
[/mm]
[mm] -(-8x^3 [/mm] - [mm] 8x^2)
[/mm]
0 + [mm] 16x^2 [/mm] + 11x
-( [mm] 16x^2 [/mm] + 16x)
0 - 5x - 5
- 5x - 5
0 (d.h. ohne Rest)
Nun bleibt der Term: [mm] x^3 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] + 16x -5 über, auch diesen Term setzt man gleich Null.
Natürlich kann man wie beim ersten Faktor durch Ausprobieren einen zweiten Faktor (x - [mm] x_1) [/mm] finden.
Ich fand aber auch einen Hinweis im Internet, dass das absolute Glied (ohne x), Hinweise auf eine Nullstelle geben kann.
Ich probierte also, ob das funktionierte und teilte den übrig gebliebenen Term durch (x - [mm] x_1) [/mm] also (x - 5):
[mm] x^3 -8x^2 [/mm] + 16x -5 : (x - 5) = [mm] x^2 [/mm] - 3x + 1
[mm] -(x^3-5x^2)
[/mm]
0 [mm] -3x^2 [/mm] + 16x
[mm] -(-3x^2 [/mm] + 15x)
0 + x - 5
-( x - 5)
0 (d.h. auch ohne Rest)
Ich hatte also den 2.Faktor der Polynomdivision gefunden. Übrig blieb der Term [mm] x^2 [/mm] - 3x + 1
Nun konnte ich mit der Mitternachtsformel die übrigen zwei Nullstellen berechnen.
Ich erhielt [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{3 + \wurzel{5}}{2} [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{3 - \wurzel{5}}{2}
[/mm]
Damit hatte ich alle vier Nullstellen ermittelt.
Nach der erfolgreichen Polynomdivision lautet die Funktion folgendermaßen:
f(x) = y = [mm] (x-x_0)*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3) [/mm] mit den Faktorennamen und nach Einsetzen der x-Werte:
f(x) = [mm] (x+1)*(x-5)*(x+\bruch{3+\wurzel{5}}{2})*(x+\bruch{3-\wurzel{5}}{2})
[/mm]
Es gibt eine Regel, die ich (leider) erst nach meinen Berechnungen erfuhr.
Wenn eine ganzzahlige Nullstelle existiert, muss sie ein Teiler des absoluten Gliedes sein. Auch gilt: Ist [mm] x_0 [/mm] eine Nullstelle der Funktion, dann muss die Polynomdivision ohne Rest durchführbar sein !! Das war hier (zum Glück) de Fall. Ich hätte aber zuerst den Teiler des absoluten Gliedes (hier 5) suchen sollen.
Aufgabe 5
f(x)= y = 2 sin [mm] (\bruch{x}{3}- \pi) [/mm] +1
a) Unterschied zur normalen Sinusfunktion
Die normale Sinusfunktion hat die Formel:
f(x)= a * sin (b * x + c) + d
a= Amplitudenaktor
b= Periodenfaktor (1Periode= [mm] \bruch{2\pi}{b}
[/mm]
c= Verschiebungsfaktor x-Achse
d= Verschiebungsfaktor y-Achse
Die normale Sinusfunktion f(x)= sin x mit a=1, b=1, c=0 und d=0 hat kleinere Wellen und eine geringere Ampitude (=Abstand nach oben zwischen Hoch und Tiefpunkt).
Sie ist punktsymetrisch, d.h. sin (x) = -sin (-x), das gilt vor allem für Hoch-und Tiefpunkte.
Die Periode bei der normalen Sinusfunktion liegt bei 2 [mm] \pi. [/mm] Sie ist bei der vorliegenden Funktion um 2 größer (a-Faktor). Dann ist die Priode umd [mm] \pinach [/mm] links verschoben (c-Faktor). Zudem ist die Funktion umd 1 nach oben verschoben (d-Faktor).
Die Nullstellen bei der Sinusfunktion liegen bei k * [mm] \pi, [/mm] k [mm] \in \IR.
[/mm]
Die (ersten 3) Nullstellen der neuen Funktion liegen bei [mm] x=\bruch{\pi}{2}, [/mm] und [mm] x=\bruch{5\pi}{2} [/mm] und [mm] x=\bruch{13\pi}{2}. [/mm] Auffallend ist, dass diese x-Werte bei der Sinus-Funktion Hochpunkte bestimmen.
Die Hochpunkte der Sinusfunktion liegen ja immer bei 1, die der neuen Funktion liegen bei: x= [mm] \bruch{9\pi}{2} [/mm] + [mm] k*6\pi [/mm] für k [mm] \in \IZ [/mm] .
Die Tiefpunkte der Sinusfunktion liegen bei -1, die der neuen bei x= [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] + [mm] k*6\pi [/mm] für k [mm] \in \IZ [/mm] .
Die Wertemenge der normalen Sinusfunktion liegt bei W = [-1 | +1], die der neuen Funktion liegt bei W = [-1 | +3]
b) Beschränktheit
Sinus W = [-1 | +1]
Funktion W = [-1 | +3] Die positiven y-Werte sind höher als die negativen.
Schachschorsch
|
|
|
| |
|
> 1.a) schon einzeln berechnet
>
> 1.b) [mm]y=4x^2+6x-3[/mm]
>
> Wie ich in Aufgabe 1.a) gezeigt hatte, muss man zuerst die
> Scheitelform und anschließend die Umkehrfunktion
> berechnen.
> Auch diesmal ist die Funktion eine eine quadratische
> Gleichung, deren Umkehrfunktion auch wieder eine
> Wurzelfunktion sein dürfte.
>
> Wie schon gezeigt, hatte ich die Funktion in die allgemeine
> Scheitelform:
>
> f(x) = (x - [mm]x_s)^2[/mm] + [mm]y_s[/mm] gebracht (mit Scheitelpunkt S [mm][x_s[/mm]
> | [mm]y_s])[/mm]
>
> Für die allgemeine quadratische Funktion f(x) = [mm]ax^2[/mm] + bx +
> c bedeutete dies für die Scheitelform:
>
> f(x) = a(x - [mm]\bruch{-b}{2a})^2[/mm] + [mm]\bruch{4ac -b^2}{4a},[/mm]
>
> wobei S [mm][\bruch{-b}{2a}[/mm] | [mm]\bruch{4ac -b^2}{4a}][/mm] ist.
>
> In Aufgabe 1.a) hatte ich nun zuerst S berechnet, in die
> neue Funktion eingesetzt und anschließend die Scheitelform
> in die Umkehrfunktion umgewandelt.
>
> Nun versuche ich, die Allgemeinform in die Umkehrfunktion
> umzuwandeln ! Das Einsetzen der Werte erfolgt dann erst
> danach !
>
> Dazu gebe ich der Umkehrfunktion noch den (von mir im
> Internet) gefundenen) Abkürzungsnamen: [mm]f^{-1}(x).[/mm]
>
> Diese neue Funktion entsteht aus der Umkehrung der Funktion
> f(x).
>
> Wir nehmen also
>
> f(x) = y = a(x - [mm]\bruch{-b}{2a})^2[/mm] + [mm]\bruch{4ac -b^2}{4a}[/mm]
> | - [mm]\bruch{4ac -b^2}{4a}[/mm]
>
> y - [mm]\bruch{4ac -b^2}{4a}=[/mm] a(x - [mm]\bruch{-b}{2a})^2[/mm] | :
> a
>
> [mm]\bruch{y - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a}[/mm] = (x -
> [mm]\bruch{-b}{2a})^2[/mm] | [mm]\wurzel[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{y - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a}}[/mm] = x -
> [mm]\bruch{-b}{2a}[/mm] | + [mm]\bruch{-b}{2a}[/mm] nun stellt man die
> Gleichung um und erhält
>
> x = [mm]\wurzel{\bruch{y - \bruch{4ac -b^2}{4a}}{a}}[/mm] +
> [mm]\bruch{-b}{2a}[/mm] man könnte noch das a aus der Wurzel nehmen
> und hat dann:
>
> x = [mm]\wurzel a^{-1}\wurzel{y - \bruch{4ac-b^2}{4a}}[/mm] +
> [mm]\bruch{-b}{2a}[/mm]
>
> Jetzt bekommt man die Umkehrfunktion, indem man x und y
> vertauscht und erhält
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = [mm]\wurzel {a^{-1}}\wurzel{x - \bruch{4ac-b^2}{4a}}[/mm]
> + [mm]\bruch{-b}{2a}[/mm] (= Umkehrfunktion von [mm]f(x)=ax^2+bx+c)[/mm]
>
> Wie man erkennen kann, tauchen in dieser Funktion auch die
> Werte [mm]x_s[/mm] und [mm]y_s[/mm] auf !, man könnte die Umkehrfunktion also
> auch so schreiben:
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = [mm]\wurzel {a^{-1}}\wurzel{x - y_s}[/mm] + [mm]x_s[/mm]
>
> Ich hoffe, dass diese Abhandlung so richtig und für alle
> verständlich ist ! Es geht sicher einfacher und schneller
> mit quadratischer Ergänzung und Umstellen der Gleichung,
> aber ich wollte den allgemeinen Fall 1 x durchrechnen...Bei
> der nächsten Aufgabe spare ich mir das denn...
Was soll man dazu noch sagen...wenn es dir Spaß macht ;)
Allerdings würde ich auf den Schritt mit dem Wurzelziehen von a verzichten. Wozu solltest du die Wurzel auf zwei aufteilen? Rechnerisch bringt dir das keine verbesserung und später müsstest du es wieder reinmultiplizieren
>
> Nun aber endlich zur eigentlichen Aufgabe...
>
> 1.b) Wie lauten Scheitelform und Umkehrfunktion der
> Parabel
>
> [mm]y=4x^2+6x-3[/mm] ?
>
> Wir können uns nun die in Aufgabe 1.a) benutzte
> quadratische Ergänzung sparen und S direkt bestimmen !
>
> [mm]x_s[/mm] = [mm]-\bruch{b}{2a}[/mm] = [mm]-\bruch{6}{8}[/mm] = [mm]-\bruch{3}{4}[/mm]
>
> [mm]y_s[/mm] = [mm]\bruch{4ac-b^2}{4a}[/mm] = [mm]\bruch{4*4*-3-36}{4*4}[/mm] =
> [mm]-\bruch{84}{16}[/mm] = [mm]-\bruch{21}{4}[/mm] mit S [mm][-\bruch{3}{4}[/mm] |
> [mm]-\bruch{84}{16}][/mm]
>
> die Scheitelform der Parabel heißt somit:
>
> f(x) = [mm]4(x-\bruch{-3}{4})^2+\bruch{-21}{4}[/mm] =
> [mm](x+\bruch{3}{4})^2-\bruch{21}{4}[/mm]
richtig
>
> Die Umkehrfunktion der Parabel lautet dann:
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = [mm]\wurzel{a^{-1}} \wurzel {x-y_s}[/mm] + [mm]x_s[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] =
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}}\wurzel{x-\bruch{4*4*(-3)-6^2}{4a}}+\bruch{-6}{2a}[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{x+\bruch{21}{4}}-\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Wie in Aufgabe 1.a) wurde aus der quadratischen Funktion
> f(x) die mit Wurzel ausgestattete Umkehrfunktion [mm]f^{-1}(x)[/mm]
jetzt machst du es mir unnötig schwer mit dem blöden Vorfaktor 1/2 !! Ich hab die Lösung doch nur als ganze Wurzel *g*
Also mein Ergebnis lautet:
$ [mm] -\bruch{3}{4}+\wurzel(\bruch{4x+21}{16}) [/mm] $
Und siehe da Problem, wenn ich das reinmultipliziere stünde da:
[mm] \wurzel(\bruch{1}{4}*\bruch{4x+21}{4}) [/mm]
also es stimmt ^^
>
> 1.c) [mm]y=-3x^2+3x+5[/mm]
>
> Ich setze a, b und c gleich in die in den Aufgaben 1.a) und
> b) benutzten Formeln ein und erhalte für
>
> die Scheitelform [mm]f(x)=-3(x-\bruch{1}{2})^2+\bruch{23}{4}[/mm]
> (übrigens: man kann schnell mal den Faktor a vor der
> Klammer vergessen, war mir gerade auch passiert...) und
was man nicht sollte ;) Aber stimmt, richtig
>
> die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}(x)= \wurzel{a^{-1}} \wurzel {x-y_s}[/mm]
> + [mm]x_s[/mm] sollte eigentlich auch eine Lösung haben. Diese ist
> aber, wenn man sich anschaut, dass a = -3 ist, nicht zu
> erkennen, da die Wurzel einer negativen Zahl, in diesem
> Fall [mm]\wurzel{-3^{-1}}[/mm] als Faktor vorkommt. Aber auch der
> zweite Faktor hat ein ähnliches Problem:
>
> [mm]\wurzel(x-\bruch{21}{4})[/mm] wird für x > [mm]-\bruch{21}
> {4}[/mm] (damit
> ist der Radikand negativ) auch kaum zu lösen sein...
> Insofern kam ich zu der (zwischenzeitlichen) Überzeugung,
> dass es in diesem Fall eigentlich keine Umkehrfunktion
> geben könne !
leider falsch, deshalb nicht a ausmultiplizieren! Nur weil die Wurzel davorne negativ ist, kann der gesamte Bruch doch positiv werden. Auch deine Einschränkung für den zweiten Radikanden ist doch kein Argument gegen eine Umkehrfunktion. Dann existiert diese eben erst ab einem x-Wert von unter [mm] \bruch{23}{4}, [/mm] das ist doch oben das selbe! Ich habe doch darauf hingewiesen, dass der Wertebereich der Ausgangsfunktion zum Def-Bereich der Umkehrfunktion wird:)
Also es geht, und zwar so:
[mm]y=-3(x-\bruch{1}{2})^2+\bruch{23}{4}[/mm]
$ [mm] \bruch{y-\bruch{23}{4}}{-3}=(x-\bruch{1}{2})^2 [/mm] $
$ [mm] \wurzel(\bruch{y-\bruch{23}{4}}{-3})+\bruch{1}{2}=x [/mm] $
$ [mm] f^{-1}=\wurzel(\bruch{+23-4x}{12})+\bruch{1}{2} [/mm] $
Und wie gesagt, für welche x-Werte ist die Wurzel definiert?
für $ 23-4x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] 4x [mm] \le [/mm] 23 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le \bruch{23}{4} [/mm] $
Damit ist die Funktion definiert für D= { x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \le \bruch{23}{4} [/mm] }
----
Erstmal essen
>
> Der Graph einer Umkehrfunktion sollte ja auch eine
> Spiegelung der Ausgangsfunktion an der Winkelhalbierenden
> des 1.Quadranten (also möglichst für positive y und y-Werte
> sein...
>
> Jetzt hatte ich aber noch eine Idee ! Kann man in der
> Lösungsformel, die so offenichtlich nur für a> 0 gilt,
> Umstellungen vornehmen, dass man auch die Fälle für
> negative a berücksichtigt ?
Gar nicht nötig, wie gesagt, statt "unsinnigerweise" a aus der Wurzel zu ziehen, lass es einfach drin! Oder mulripliziere die negative Wurzel wieder rein, so oder so ist der Radikand niemals von vornherein negativ, wenn es doch ein x gibt, das alle Werte annehmen kann. (so einfach gesprochen, Ausnahmen etc gibt es immer)
>
> Ich probierte es erstmal mit der Scheitelform zur Aufgabe
> 1.c):
>
> f(x) = y = [mm]-3(x-\bruch{1}{2})^2 +\bruch{23}{4},[/mm] dann
> ersetzte ich die x- und y-Werte von S durch die Ausdrücke
> [mm]x_s[/mm] und [mm]y_s,[/mm] die -3 für das negative a ließ ich bewusst
> stehen...
richtig, hatten wir die nicht oben schon?? naja du scheinst gerne viel zu rechnen ^^
>
> Jetzt hatte ich
>
> y= [mm]-3(x-x_s)^2[/mm] + [mm]y_s[/mm] dann Auflösen nach x....
>
> diesmal stellte ich die Wurzeln anders auf bekam heraus:
>
> x= [mm]\wurzel{3^{-1}}\wurzel{y_s-y}+x_s[/mm] (die Radikanden sehen
> schon besser aus !)
>
Was hast du hier gemacht, dass du keine -3 mehr hast? Naja, wie gesagt Lösung oben
> Nach Tauschen von x und y ersetzte ich die 3 durch -a und
> hatte nun die Umkehrfunktion gefunden...
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = [mm]\wurzel{-a^{-1}}\wurzel{y_s-x}+x_s[/mm] und
> ausführlicher:
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] =
> [mm]\wurzel{-a^{-1}}\wurzel{\bruch{4ac-b^2}{4a}-x}+\bruch{-b}{2a}[/mm]
> (nochmal: diese Funktion gilt nur für a < 0)
>
> Jetzt setze ich die Werte a,b,c ein und erhalte die
> gesuchte Umkehrfunktion zu Aufgabe 1.c):
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] =
> [mm]\wurzel{3^{-1}}{\wurzel{\bruch{4*-3*5-3^2}{4*-3}-x}}+\bruch{-3}{2*-3}[/mm]
> =
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] =
> [mm]\wurzel{3^{-1}}{\wurzel{\bruch{69}{12}-x}}+\bruch{1}{2}[/mm]
> gekürzt und Vorzeichen geregelt bleibt stehen:
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] =
> [mm]\wurzel{3^{-1}}{\wurzel{\bruch{23}{4}-x}}+\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Beim Betrachten der Umkehrfunktion stellt man fest, dass
> die zweite Wurzel nicht negativ werden darf. Nur bei
> [mm]x\le\bruch{23}{4}[/mm] gibt es einen Wert.
>
Nun gut, dann stehen wir wieder genau da, wo wir oben waren :) Wie gesagt s.o.
BZW. jetzt hast du alles richtig gemacht und die richtigen Schlüsse gezogen XD Oben warst du mit dem selben Term offenbar überfordert aber wunderbar, du löst es selber :) Damit hast du deinen neuen Def-Bereich
> Aufgabe 2 (Schnittpunkte berechnen):
> gegeben ist die Gerade y = 2 x + 1
>
> a) Parabel y = [mm]-x^2[/mm] + 4
>
> Ich setze die Terme gleich
>
> 2x + 1 = [mm]-x^2[/mm] +4 und erhalte die quadratische Gleichung [mm]x^2[/mm]
> + 2x -3 = 0
>
> Dies ergibt nach der Mitternachts-(oder pq)-Formel die
> Werte [mm]x_1_2[/mm] = -3 und 1. Durch Einsetzen der Werte in eine
> der Funktionsgleichungen ergeben sich die zwei
> Schnittpunkte [mm]S_1[/mm] [-3 | -5] und [mm]S_2[/mm] [1 | 3]
parfait
>
> b) Hyperbel y = [mm]x^{-1}[/mm]
>
> nach Gleichsetzen gilt:
>
> [mm]x^{-1}[/mm] = 2x + 1 für x [mm]\not=[/mm] 0
>
> 2x - [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + 1 = 0 | * x (deshalb darf x
> auch nicht 0 sein)
>
> [mm]2x^2[/mm] + x - 1 = 0
>
> ergibt die Schnittpunkte [mm]S_1 [\bruch{1}{2}[/mm] | 2] und [mm]S_2[/mm] [-1
> | -1]
>
> c) Kreis [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 9
>
> zuerst muss ich die Kreisformel nach y auflösen und erhalte
> nach [mm]-x^2[/mm] und [mm]\wurzel:[/mm] y = [mm]\{9-x^2}[/mm] (besser ist es
> vielleichtdie Geradengleichung zu quadrieren !)
>
auf jeden Fall :)
> Nach Gleichsetzen der Terme erhalte ich
>
> 2 x + 1 = [mm]\wurzel{9-x^2}[/mm] | quadrieren ! ergibt (auch
> wieder den vollen Kreis !):
richtisch
>
> [mm]9-x^2[/mm] = [mm]4x^2[/mm] + 4x +1
>
> [mm]5x^2[/mm] + 4x - 8 = 0 (man kann die 5 nun ausklammern und
> erhält:
> [mm]5(x^2[/mm] + [mm]\bruch{4}{5}x-\bruch{8}{5})[/mm] = 0 oder die
> quadratische Gleichung gleich ausrechnen...)
>
> man erhält [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{2\wurzel{11}-2}{5}[/mm]
>
> und für [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{-2\wurzel{11}-2}{5}[/mm]
>
> Nach Einsetzen der x-Werte in eine der Funktionsgleichungen
> erhält man die beiden Schnittpunkte
>
> S1 [mm][\bruch{2\wurzel{11}}{5}-\bruch{2}{5}[/mm] |
> [mm]\bruch{4\wurzel{11}}{5}+\bruch{1}{5}][/mm] und
>
> S2 [mm][-\bruch{2\wurzel{11}}{5}-\bruch{2}{5}[/mm] |
> [mm]\bruch{1}{5}-\bruch{4\wurzel{11}}{5}][/mm]
>
> Aufgabe 3
> gegeben ist die Parabel y = [mm]-x^2[/mm] - 6x -7
>
> a) berechne die Nullstellen
>
> Bei der Berechnung der Nullstellen muss gelten f(x) = 0
> 0 = [mm]-x^2[/mm] - 6x -7 daraus folgt
>
> [mm]x_1_2[/mm] = -3 [mm]\pm\wurzel{2}[/mm]
schön schöm
>
> b) Umwandeln in die Scheitelpunktform
> y = [mm]-x^2[/mm] -6x -7 | * (-1) ist praktischer
>
> -y = [mm]x^2[/mm] +6x +7 | quadratische Ergänzung auf der rechten
> Seite
>
> -y = [mm]x^2[/mm] +6x [mm]+3^2[/mm] - [mm]3^2[/mm] +7
>
> -y = [mm](x+3)^2[/mm] -2 | *(-1)
>
> y = [mm]-(x+3)^2[/mm] -2
Vorzeichenfehler, es wird zu +2!
Komischerweise hast du unten wieder + 2 ^^
>
> gemäß der allgemeinen Scheitel(punkt)form f(x0) = [mm](x-x_s)^2[/mm]
> + [mm]y_s[/mm] (hier kommt noch das Minuszeichen vor die Klammer als
> Ausdruck, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, hinzu)
Das Minus ist richtig erklärt. Zudem sollte aber noch Bezug auf die Normalparabel genommen werden. Da diese ja die Form [mm] x^2 [/mm] hat, müssen [mm] x_s [/mm] und [mm] y_s [/mm] etwas bedezten und zwar bedeutet [mm] x_s [/mm] eine Verschiebung auf der x-Achse und [mm] y_s [/mm] auf der y-Achse. Mit einem Scheitelpunkt von S(-3|2) ist die Parabel im Gegensatz zur Normalparabel um 3 nach links und um 2 nach oben verschoben! Das ist wichtig zu merken, da dies auch bei allen anderen Funktionen auftritt! sin(x+1) ist um 1 nach links verschoben, [mm] e^x+4 [/mm] um 4 nach oben etc. etc.
>
> Der Scheitelpunkt hat die Werte [mm]x_s[/mm] = -3 und [mm]y_s[/mm] = 2
>
> c) Umkehrfunktion und Definitionsbereich
>
> Für die Berechnung der Umkehrfunktion benutzen wir die
> Formel aus Aufgabe 1.c):
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] =
> [mm]\wurzel{-a^{-1}}\wurzel{\bruch{4ac-b^2}{4a}-x}+\bruch{-b}{2a}[/mm]
> für a < 0 und setzen a,b,c ein, wir erhalten
>
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = [mm]\wurzel{2-x}-3[/mm]
>
> Die Umkehrfunktion hat im Gegensatz zur Ausgangsfunktion
> einen eingeschränkten Definitionsbereich ! D= x [mm]\IN \IR,[/mm]
> für x [mm]\le[/mm] 2, denn die Wurzel darf nicht negativ sein !
> Der Graph der Umkehrfunktion fängt bei x = 2 (Punkt [2 |
> -3] an, verläuft nach links, schneidet die y-Achse beim
> Punkt [mm][\wurzel{2}[/mm] | -3]und die x-Achse beim Punkt [-7 | 0]
> und steigt dann langsam an, erreicht aber bei x=-9998 als
> y-Wert gerade mal 97 !
sehr schön!
>
> Der Wertebereich der Ursprungsfunktion hatte zwar auch
> (beim Scheitelpunkt) seine Grenze, die Werte der
> Umkehrfunktion sind aber stärker eingeschränkt und haben
> für W bei y = -3 ihre negative Grenze.
Wie gesagt, der Teil des Definitionsbereiches der alten Funktion wird zum Wertebereich der neuen. Man kann immer nur die Hälfte der Funktion betrachten, da eine Parabel nur sozusagen für ihren positiven Teil umkehrbar ist. Da der Scheitelpunkt bei -3 auf der x-Achse liegt, wäre der Definitionsbereich des positiven/rechten Astes der Funktion also x [mm] \ge [/mm] -3. Genau das ist jetzt [mm] \IW
[/mm]
>
> Aufgabe 4. Nullstellenbestimmung
>
> [mm]y=x^4-7x^3+8x^2+11x-5[/mm]
>
> Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion 4.Grades.
> Zur Nullstellenberechnung kann man die Polynomdivision
> benutzen. Dabei wird die Gleichung gleich Null gesetzt. und
> man versucht, den Term in einzelne Faktoren zu zerlegen.
> Zuvor versucht man es ggf. mit Ausklammern von x. Falls
> dies zu quadratischen Termen 2.Grades führt, kann man diese
> mit den Binomischen Formeln zerlegen.
> Es gibt aber auch einige andere Möglichkeiten wie das
> "Horner Schema", auf das ich jetzt nicht eingehen möchte,
> da mir von diesem Schema lediglich der name bekannt ist...
>
> Bei der vorliegenden Funktion sah ich recht schnell, dass
> ein Ausklammern wenig Sinn machte.
> Aus dem Internet hatte ich einen Tipp bekommen, wie man
> den ersten Faktor einer Polynomdivision ermitteln kann...
> Und zwar durch Ausprobieren !
So ist es, beziehungsweise man kann noch genauer Zeigen, dass eine NST, wenn sie denn ganzzahlig exisitert, immer ein Teiler des absoluten Gliedes ist. D. H. existiert eine ganzzahlige Nullstelle, dann muss sie ein Teiler von -7 sein! Damit kommen nur 1,-1,7 und -7 in Frage. Das sollte man als erstes probieren. Ansonsten bleiben einem nur Annäherungsverfahren wie das Newtonschema zur NST-Berechnung.
> Der erste Faktor einer polynomdivision von der Form (x -
> [mm]x_0)[/mm] ist meistens ganzzahlig und liegt im Bereich [mm]\pm[/mm] Null
> !
> Man kann sich eine kleine Wertetabelle ausdeneken und von
> der 0 ausgehend ganzzahlige positive und negative Werte von
> [mm]x_0[/mm] ausprobieren.
>
> Das tat ich dann auch bei dieser Aufgabe. Bereits bei [mm]x_0[/mm] =
> -1 hatte ich einen Treffer. Man musste also den gleich Null
> gesetzten Term durch (x - [mm]x_0)[/mm] in diesem Fall also (x + 1)
> teilen !
sehr schön und sehr schön auch, dass du so viel Initiative zeigst. Siehe hierzu aber den Hinweis direkt obendrüber, damit du in Zukunft direkt die richtigen Zahlen testest
>
> zuerst also:
>
> [mm]x^4[/mm] - [mm]7x^3 +8x^2[/mm] + 11x - 5 = 0 | linken Term durch (x
> + 1) teilen
>
> [mm]x^4[/mm] - [mm]7x^3 +8x^2[/mm] + 11x - 5 : (x + 1) = [mm]x^3[/mm] - [mm]8x^2[/mm] + 16x -
> 5
> [mm]-(x^4[/mm] + [mm]x^3)[/mm]
> 0 - [mm]8x^3 +8x^2[/mm]
> [mm]-(-8x^3[/mm] - [mm]8x^2)[/mm]
> 0 + [mm]16x^2[/mm] + 11x
> -( [mm]16x^2[/mm] + 16x)
> 0 - 5x - 5
> - 5x - 5
> 0 (d.h. ohne
> Rest)
Hier ist etwas ganz wichtig zur Selbstkontrolle: Ist [mm] x_0=-1 [/mm] eine NST der Funktion, dann muss die Polynomdivision ohne Rest durchführbar sein!!! Da du weißt, dass -1 eine NST ist, muss deine Polynomdivision aufgehen! Andernfalls hättest du einen Rechenfehler gemacht, aber schön, dass du es nicht getan hast :)
>
> Nun bleibt der Term: [mm]x^3[/mm] - [mm]8x^2[/mm] + 16x -5 über, auch diesen
> Term setzt man gleich Null.
> Natürlich kan man wie beim ersten Faktor durch
> Ausprobieren einen zweiten Faktor (x - [mm]x_1)[/mm] finden.
>
> Ich entdeckte aber auch einen Tipp im Internet, dass der
> Termenwert am Ende, der ohne den Parameter x, Hinweise auf
> eine Nullstelle geben kann.
Ach du bist mir einer! Jetzt kommt er wieder damit ,wie vorhin mit der Umkehrfunktion. Ich schreibe mir einen Wolf und dann kommt er von alleine drauf, hättest das doch auch bei der Ausgangsfunktion machen können *g*Wobei du offenbar jetzt unkritisch die 5 genommen hast, Glück gehabt, Normalerweise musst du alle Teiler von 5 erst einmal durchprobieren!
>
> Ich probiert also, ob das funktionierte und teilte den
> übrig gebliebenen term durch (x - [mm]x_1)[/mm] also (x - 5):
>
> [mm]x^3 -8x^2[/mm] + 16x -5 : (x - 5) = [mm]x^2[/mm] - 3x + 1
> [mm]-(x^3-5x^2)[/mm]
> 0 [mm]-3x^2[/mm] + 16x
> [mm]-(-3x^2[/mm] + 15x)
> 0 + x - 5
> -( x - 5)
> 0 (d.h. auch ohne Rest)
Was ein Beweis dafür ist, dass du richtig lagst und 5 eine NST ist
>
> Ich hatte also den 2.Faktor der Polynomdivision gefunden.
> Übrig blieb der term [mm]x^2[/mm] - 3x + 1
>
> Nun konnte ich mit der Mitternachtsformel die übrigen zwei
> Nullstellen berechnen.
> Ich erhielt [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{-3 + \wurzel{5}}{2}[/mm] und [mm]x_3[/mm] =
> [mm]\bruch{-3 - \wurzel{5}}{2}[/mm]
Hier muss ein Fehler vorliegen: Ahja gefunden, du hast -3, aber es heißt ja -p/2 also wird es zu +3, der Rest stimmt
>
> Damit hatte ich alle vier Nullstellen ermittelt.
>
> Nach der erfolgreichen Polynomdivision lautet die Funktion
> folgendermaßen:
>
> f(X) = y = [mm](x-x_0)*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)[/mm] mit den
> Faktorennamen und nach Einsetzen der x-Werte:
>
> f(x) =
> [mm](x+1)*(x-5)*(x+\bruch{-3+\wurzel{5}}{2})*(x+\bruch{-3-\wurzel{5}}{2})[/mm]
>
>
> noch ein letztes Mal die Vorschau ansehen und absenden...
>
> Aufgabe 5 kommt gesondert
>
> Schachschorsch
>
SO!!! Das hat jetzt vllt 1-2 Stunden gedauert....für dich sicherlich auch aber BITTE in Zukunft weniger schreiben oder mehr Aufteilen. Auch gut wäre, wenn du es an deine erste Antwort hängst! Also einfach auf deine erste Antwort klicken und dann auf reagieren und neue Frage, sonst haben wir ne dumme Struktur bei den Fragen...wenn du aber immer an deine bestehende Antworten neue Fragen dranhängst, hast du nur einen "Ast" für dich und ich kann pro Teilnehmer besser navigieren. Danke ;) Ansonsten super Leistung
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 So 05.10.2008 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Chef  ,
ich freue mich zu sehen, dass es widererwarten doch noch ein paar Aufg. gibt, die ich vllt. lösen kann. Vielen DANK f. dein super-Angebot dieser Schulung!
Zum Begriff Scheitelpkt.-Form:
Ist damit exakt ein [mm] (Klammer-Ausdruck)^2 [/mm] gemeint?
Und erlaubt es die Definition "Scheitelpkt.-Form", dass vor dem Klam.Ausdruck ein Öffnungs-Faktor steht?
Erlaubt es die Definition "Scheitelpkt.-Form" auch, dass hinter dem Klam.Ausdruck noch etwas steht? z.B. Aufg. a) +4
a) f(x) = [mm] (x-4)^2 [/mm] + 4
b) f(x) = 4(x+ [mm] 3/4)^2 [/mm] - [mm] \bruch{84}{16} [/mm]
Scheitelpkt.-Form kann also auch einen Öffnungsfaktor haben?
c) f(x) = (x- [mm] \bruch{1}{2})^2 [/mm] - [mm] \bruch{17}{12} [/mm]
Ich würde auch gern die richtigen Begriffsbezeichnungen beherrschen.
Sind die Definitionen für Scheitelpkt-Form reinquadrat. Form identisch?
(ich freue mich, dass mein erstes Posting mit Symbolen-Formatierg. scheinbar erfolgreich klappen wird)
|
|
|
| |
|
> Hallo Chef ,
> ich freue mich zu sehen, dass es widererwarten doch noch
> ein paar Aufg. gibt, die ich vllt. lösen kann. Vielen DANK
> f. dein super-Angebot dieser Schulung!
>
> Zum Begriff Scheitelpkt.-Form:
> Ist damit exakt ein [mm](Klammer-Ausdruck)^2[/mm] gemeint?
> Und erlaubt es die Definition "Scheitelpkt.-Form", dass
> vor dem Klam.Ausdruck ein Öffnungs-Faktor steht?
> Erlaubt es die Definition "Scheitelpkt.-Form" auch, dass
> hinter dem Klam.Ausdruck noch etwas steht? z.B. Aufg. a)
> +4
Aber natürlich erlaubt sie das :) Sie heißt deswegen Scheitelpunktsform, weil man an ihr den scheitelpunkt der Parabel ablesen kann und der Scheitelpunkt kann doch auch um einen beliebigen Betrag nach rechts und links, oben oder unten verschoben sein, daher gilt für die Scheitelpunktsform die korrekte allgemeine Form
$ [mm] f(x)=a(x-x_s)^2+y_s [/mm] $
Dabei ist [mm] x_s [/mm] die x-Koordinate des Scheitelpunktes und [mm] y_s [/mm] die y-Koordinate. Damit kann also direkt abgelesen werden, wobei a ein Streckfaktor ist, [mm] x_s [/mm] die Verschiebung längs der x-Achse und [mm] y_s [/mm] die verschiebung längs der y-Achse
>
> a) f(x) = [mm](x-4)^2[/mm] + 4
> b) f(x) = 4(x+ [mm]3/4)^2[/mm] - [mm]\bruch{84}{16}[/mm]
> Scheitelpkt.-Form kann also auch einen Öffnungsfaktor
> haben?
kann sie. Du kannst hier noch kürzen denn [mm] \bruch{84}{16}=\bruch{21}{4}
[/mm]
> c) f(x) = (x- [mm]\bruch{1}{2})^2[/mm] - [mm]\bruch{17}{12}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier ist dir ein Fehler unterlaufen, denn es fehlt der Vorfaktor 3. Ich habe $ [mm] f(x)=-3(x-\bruch{1}{2})^2+\bruch{23}{4} [/mm] $
> Ich würde auch gern die richtigen Begriffsbezeichnungen
> beherrschen.
> Sind die Definitionen für Scheitelpkt-Form reinquadrat.
> Form identisch?
>
> (ich freue mich, dass mein erstes Posting mit
> Symbolen-Formatierg. scheinbar erfolgreich klappen wird)
hat es glückwunsch ;)
Offenbar gibt es den Begriff reinqaudratisch, der dann bedeutet, es gibt nur [mm] x^2 [/mm] und kein x, also nur ein Glied zweiten Grades und kein Glied ersten Grades.
![[]](/images/popup.gif) Erklärung
Aber nicht mal Wiki kennt diesen Begriff und ich würde es nicht zu wichtig nehmen, denn es ist ja an sich logisch! Natürlich gibt es die Normalparabel [mm] x^2 [/mm] die auch achsensymmetrisch zur y-Achse ist...dies gilt natürlich nicht mehr für Parabeln, die ein x Glied haben, denn dann sind sie auf der x-Achse verschoben. Aber wenn du dir das merken möchtest, dann kannst du dir reinquadratisch merken, und dazu eine Scheitelpunktsform in der Form $ [mm] f(x)=ax^2+y_s [/mm] $ Denn der x-Wert ist dann immer 0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Di 07.10.2008 | | Autor: | Giraffe |
Lieber Michael,
ganz ganz vielen Dank für deine Antw.
Ja, das alles hilft mir sehr.
Allerdings hilft auch "sackenlassen". Denn nachdem ich die Fragen formuliert hatte u. ein paar Stunden oder Tage vergangen waren (Gehirn arbeitet weiter, ob man will oder nicht) ist mir folgendes eingefallen:
Was macht der Öffnungsfaktor? Beeinflußt er die Lage des Scheitelpunktes, wenn er sich ändern würde? Antw.: Nein.
Dasgleiche gilt doch auch für das letzte Glied in der Funktion, ich meine den letzten Summanden ganz rechts. Der Schnittpkt. mit der y-Achse. Auch er beeinflußt oder verändert die Koordinate des Scheitelpunktes in keinster Weise.
Dass ich den Vorfaktor 3 "vergessen habe" ist reine schlusiege Schlamperei. Auch das mit dem Kürzen, sowas sehe ich manchmal nicht.
Auch, wenn ich jetzt nur eine Aufg. vom Zettel gelöst habe u. keine andere Aufg. kann, habe ich doch jetzt etwas Wesentliches dazu gelernt.
DANKE dir vielmals.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 07.10.2008 | | Autor: | Adamantin |
Du bist schon was besonderes, wenn du so weiter machst, fühle ich mich nur dank dir den ganzen Tag gut, weil du so freundlich und dankbar bist, dass ich jedesmal Angst habe, etwas getan zu haben, was nur Heiligen zusteht ;) Etwas pointiert aber dennoch Danke für deine lieben Worte.
Jap, das kommt des öfteren vor, du hast ja auch jeder Zeit die Möglichkeit, Geschriebenes zu editieren, aber wenn ich schon geantwortet habe, lohnt sich das nicht mehr, hast du also so herum richtig gemacht. Ansonsten freut es mich, dass dir meine Antworten weiterhelfen und das Kürzen war auch unwichtig, ist kein Fehler und nichts, einzig und allein sieht es danach "kleiner" aus ^^ Und so wie es aussieht bleibt der Kurs bei euch zwei Teilnehmern...
|
|
|
|
