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Forum "Algebra und Zahlentheorie" - Division mit Rest
Division mit Rest < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Division mit Rest: Beweis zur Division mit Rest
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:41 Di 11.03.2008
Autor: DaMazen

Aufgabe
Beweise die Division mit Rest

Also ich beschäftige mich schon einige Zeit mit der Division mit Rest. HAtdazu vielleicht einer einen schön beweis, den man auch versteht? Ich habe hier einen, der aber sehr mühsam ist und mich leider noch nicht ganz überzeugt, vielleicht hat einer wwas schöneres? Sonst würde ich ihn hier einfach mal posten und einer kann mir ein paar Tipss dazu geben?
Naja vielleicht hat ja einer einen einfachen auf Lager.

        
Bezug
Division mit Rest: Aufgabe?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Di 11.03.2008
Autor: Bastiane

Hallo DaMazen!

> Beweise die Division mit Rest
>  Also ich beschäftige mich schon einige Zeit mit der
> Division mit Rest. HAtdazu vielleicht einer einen schön
> beweis, den man auch versteht? Ich habe hier einen, der
> aber sehr mühsam ist und mich leider noch nicht ganz
> überzeugt, vielleicht hat einer wwas schöneres? Sonst würde
> ich ihn hier einfach mal posten und einer kann mir ein paar
> Tipss dazu geben?
>  Naja vielleicht hat ja einer einen einfachen auf Lager.

Vielleicht kannst du mal sagen, worum genau es geht, Division mit Rest macht man glaube ich in der Grundschule, aber was dabei bewiesen werden soll, ist mir nicht klar...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                
Bezug
Division mit Rest: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 Do 13.03.2008
Autor: DaMazen

Also bei der Division mit Rest geht es darum zu beweisen, das jede Zahl in der Form a = q * b + r   mit 0 [mm] \le [/mm] r < b auf genau eine Weise darstellen kann.

Dazu ist meines Wissens nach ein Existenzbeweis und ein Eindeutigkeitsbeweis nötig... nur sind die nicht so ganz einleuchtend.

Bezug
                        
Bezug
Division mit Rest: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Do 13.03.2008
Autor: pelzig

So hab mir mal was überlegt...

Wir wollen zeigen dass es zu einer Zahl [mm] $a\in\IN$ [/mm] bei Division durch $b$ genau einen Rest [mm] $r\in\IN\cup\{0\}$ [/mm] gibt, d.h.
die Gleichung [mm] $a=q\cdot [/mm] b+r$ ist für [mm] $0\le r\le [/mm] b-1$ und [mm] $q\in\IN$ [/mm] eindeutig lösbar.

1. Existenz. Wir konstruieren zu gegebenem $a$ Zahlen $q$ und $r$ mit den gewünschten Eigenschaften:
Setze [mm] $q:=max\{k\in\IN :k\cdot b\le a\}$ [/mm] und [mm] $r:=a-q\cdot [/mm] b$. Das geht, da die Menge [mm] $\{k\in\IN :k\cdot b\le a\}$ [/mm] endlich ist und ihr Maximum somit wohldefiniert ist.
Offensichtlich ist [mm] $a=q\cdot [/mm] b+r$, bleibt zu zeigen dass auch wirklich [mm] $0\le r\le [/mm] b-1$ gilt. (Dies folgt aus der Maximumseigenschaft von $q$, denke das ist klar)

2. Eindeutigkeit. Wir nehmen an wir hätten zu gegebenem $a$ zwei unterschiedliche Paare $q,r$ und $q',r'$ gefunden mit:
(i) [mm] $a=q\cdot [/mm] b+r$
[mm] (ii)$a=q'\cdot [/mm] b+r'$
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir $q>q'$ annehmen (Für $q=q'$ folgt die Eindeutigkeit von $r$ sofort).
Dann folgt aus (i)-(ii): [mm] $r'-r=\underbrace{b\cdot(q-q')}_{\ge b\text{, da }q>q'}$ [/mm] der Widerspruch, denn aus [mm] $0\le r,r'\le [/mm] b-1$ folgt [mm] $r'-r\le [/mm] b-1$.

Also ich find das einfach und schön. ^^

Bezug
                                
Bezug
Division mit Rest: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:00 So 16.03.2008
Autor: DaMazen

Moin,
vielen Dank für die Mühe, ich werd mir den in den nächsten Tagen mal durchsehen und ansonsten nochmal nachfragen.

Bezug
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