Division von Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:27 Di 26.06.2012 | | Autor: | leu89 |
| Aufgabe | Ich brauche Hilfe, weil ich einen Rechenschritt in den Lösungen nicht verstehe. Die Aufgabe lautet folgendermassen:
Für [mm]0\le t \le 4T[/mm] berechne man mit Hilfe des d'Alembert'schen Ansatzes die Geschwindigkeit [mm]u_t(x,t)[/mm] und die Stabkraft [mm]F(x,t)[/mm].
[mm]
\begin{matrix}
u(x,t)&=& f(x-ct) \\
\ u(0,t) & =& s(t)
\end{matrix}
[/mm]
[mm]
s(t)[/mm][mm] = \left\{\begin{matrix}
\frac{a}{T}*t & \mbox{für }0 \le t< T \\
2a-\frac{a}{T}*t & \mbox{für }T \le t< 2T \\
0 & \mbox{für }t \ge 2T \\
\end{matrix}\right.
[/mm] |
Den d'Alembert'schen Ansatz habe ich in der Aufgabenstellung schon mal hingeschrieben. Es handelt sich dabei um eine Wellengleichung für eine Rechtswelle.
Um diese PDG berechnen zu können machen sie in der Lösung eine Koordinatentransformation und zwar folgende:
[mm]u(x,t)=f(x-ct)=:s( \alpha t+ \beta x)[/mm]
Und diese Koordinatentransformation muss der Randbedingung
[mm] u(0,t)=f(-ct)=s(t) [/mm]
folgen.
Dann kommt der Schritt den ich nicht verstehe und zwar wird gesagt, dass sich die Argumente von [mm] f [/mm] so zu verhalten haben, wie die von [mm] s [/mm]. Also folgendermassen:
[mm]
\frac{x-ct}{-ct} = \frac{\alpha t+ \beta x}{t}[/mm]
[mm]
\to \alpha = 1; \beta =- \frac{1}{c}
[/mm]
Meine Frage ist nun, wieso man mit den Argumenten der Funktionen so ein Verhältnis bilden kann? Kann man, wenn man gleiche Funktionen mit unterschiedlichen Argumenten dividiert, die Funktionen dahinter im Allgemeinen vergessen, oder handelt es sich hier um einen Spzialfall?
Und falls ihr noch nicht genug habt, könnte mir jemand auch noch sagen, warum man diese Koordinatentransformation durchführen muss, um auf die Lösung zu kommen und warum sie genau so auszusehen hat? Damit ich bei einer ähnlichen Aufgabe auch eine Koordinatentransformation durchführe und nicht einfach vor dem Aufgabenblatt sitze und nicht weiterkomme, weil ich einfach diese Idee nicht habe...
PS: Dies ist eigentlich eine Aufgabe für Maschinenbauer, aber ich dachte, dass sich meine Frage zu der Aufgabe auf den mathematischen Hintergrund bezieht. Wie man dann auf die Stabkraft und die Geschwindigkeit kommt, ist mir klar, wobei die Geschwindigkeit ja schon in der Aufgabe definiert ist...
Edit: Das Layout noch etwas verbessert, um die Lesbarkeit zu erhöhen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 28.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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