Doppelintegral-Fläche 3 Kurven < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mi 13.06.2007 | | Autor: | schabby |
| Aufgabe | Mit Hilfe von Doppelintegralen ist der Inhalt der Flächen zu berechnen, welche durch folgende Kurven berandet sind
a) [mm] y^{2}=2x [/mm] , y=x
b) y = sinx , y= cosx , x=0 |
Hallo,
diese Aufgabe ist Teil eines Beleges für unser Studium, und an b) sind ein Kommilitone und ich heute nachmittag fast verzweifelt....
Zuerst haben wir uns die 3 Kurven skizziert und uns über die relevanten Grenzen nachgedacht. sin(x) und cos(x) schneiden sich ja da, wo der tan(x)=1 ist. Also müsste man für diese Aufgabe den Bereich in den Grenzen von [mm] \bruch{-3}{4} \pi [/mm] bis [mm] \bruch{1}{4} \pi [/mm] betrachten. Wo auch schon die erste Frage auftaucht: x=0 teilt die gesuchte Fläche ja in 2 Teile - sollte man dann zwei Rechnungen ausführen (Fläche von a bis 0 plus Fläche von 0 bis b) oder kann man die Fläche in einem Schritt ausrechnen?
Die nächste Frage war, was f(x,y) ist, die 'Funktion' des Doppelintegrals. In der Aufgabenstellung ist sie nicht gegeben, bei der Aufgabe a) haben wir f(x,y)=x+y gewählt (x-y-Ebene) und sind so auch auf die scheinbar richtige Lösung [mm] (A=\bruch{6}{5} [/mm] ) gekommen. Also haben wir f(x,y)=x+y auch hier genommen.
Wir haben den Weg anhand 2er Teiflächen gewählt, waren uns aber über die Grenzen nicht im klaren. Da die cos-Funktion in dem betrachteten Bereich über der sin-Funktion liegt, sah unser Ansatz für den kleineren Bereich rechts der y-Achse dann wie folgt aus:
[mm] \integral_{x=0}^{\bruch{\pi}{4}} \integral_{y=sin(x)}^{cos(x)}{x+y} [/mm] dy dx
Weitergerechnet kamen wir dann zu folgenden Ergebnissen:
[mm]= \integral_{x=0}^{\bruch{\pi}{4}} (xy + \bruch{1}{2} y^{2}) dx [/mm] (in den Grenzen [mm]cosx , sinx[/mm])
[mm]= \integral_{x=0}^{\bruch{\pi}{4}} (x*cosx+\bruch{1}{2}*cosx^{2}-x*sinx-\bruch{1}{2}sinx^{2}) dx [/mm] (Grenzen eingesetzt)
[mm]= (x*sinx+cosx+\bruch{1}{2}*(\bruch{x}{2}+\bruch{sin(2x)}{4})+ x*cosx+sinx-\bruch{1}{2}*(\bruch{x}{2}-\bruch{sin(2x)}{4}) [/mm] (in den jeweiligen Grenzen)
Jetzt haben wir die Grenzen [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] und 0 für x eingesetzt und kamen dann auf eine Fläche von [mm] \wurzel{2}+\bruch{1}{8}. [/mm]
Das ist für dieses kleine Teilstück doch entschieden zu groß - wo doch die gesamte Fläche zwischen der cos- und sin-Funktion in einer 'Periode' [mm] 2*\wurzel{2} [/mm] beträgt (ähnliche Aufgabe im Papula, leider (für uns) auf anderem Weg und ohne Doppelintegrale gerechnet).
Leider konnten wir weder Vorzeichen- noch sonstige Fehler auf unserem versuchten Lösungsweg finden. Oder ist unser Ansatz schon falsch, zu schwer,...?
Würden uns über Hilfe sehr freuen!
schonmal danke...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Die Aufgabe b) ist tatsächlich unklar. Möglicherweise habt ihr irgendeine Kleinigkeit in der Formulierung der Aufgabe übersehen. Steht da vielleicht noch "im ersten Quadranten"? Dann wäre das Flächenstück rechts der [mm]y[/mm]-Achse gemeint. Davon gehe ich einmal aus.
Euer Integrand ist falsch. Wenn man den Flächeninhalt will, hat man über die Funktion konstant 1 zu integrieren. Es ist daher alles viel einfacher. Der gesuchte Inhalt [mm]A[/mm] ist nämlich
[mm]A = \int_0^{\frac{\pi}{4}}~\left( \int_{\sin{x}}^{\cos{x}}~\mathrm{d}y \right)~\mathrm{d}x[/mm]
Übrigens erscheint mir das alles viel zu aufgesetzt. Wie würde man [mm]A[/mm] denn mit Schulwissen berechnen? Natürlich so:
[mm]A = \int_0^{\frac{\pi}{4}}~\left( \cos{x} - \sin{x} \right)~\mathrm{d}x[/mm]
Und genau darauf läuft ja auch die zweidimensionale Integration hinaus.
Euer Wert bei Aufgabe a) ist ebenfalls falsch. Vermutlich habt ihr da denselben falschen Integranden genommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 14.06.2007 | | Autor: | schabby |
Huhu,
erstmal Danke.
Nein, von 'erstem Quadranten' steht in der Aufgabenstellung nichts - nur, dass wir das mit Doppelintegralen berechnen sollen. Leider.
Nagut, dann werden wir das mal mit f(x,y) = 1 probieren. Und dann die Teilflächen mit den jeweiligen Grenzen addieren.
Danke!
LG
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