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Hallo,
ich habe folgendes Integral
[mm] \integral_{-\infty}^{ay}{\integral_{-\infty}^{by}{exp(v^2-2uv+u^2) dv du}}
[/mm]
Ich suche hierfür die Ableitung nach y.
Also für den Fall, dass ich nur ein Integral hätte wäre das Problem ja relativ einfach zu lösen, das Ergebniss wäre doch der Integrand mal die Ableitung von y.
Aber wie gehe ich bei einem Doppelintegral vor ?
Kann mir hierzu jemand helfen?
Ich habe diese Frage auch im Forum http://matheplanet.com/ gestellt
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe folgendes Integral
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> [mm]\integral_{-\infty}^{ay}{\integral_{-\infty}^{by}{exp(v^2-2uv+u^2) dv du}}[/mm]
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> Ich suche hierfür die Ableitung nach y.
Hallo, du musst ein wenig aufpassen bei dieser aufgabe. hast du ein unbestimmtes integral der art
[mm] $F(y)=\int_0^y f(u)\,du$
[/mm]
kannst du leicht den HDI (hauptsatz der diff/int-rechnung) anwenden und erhälst:
[mm] $\partial_y F(y)|_{y_0}=f(y_0)$
[/mm]
Hast du als integrationsgrenze eine funktion von y, musst du dann einfach die kettenregel anwenden. In deinem Fall
[mm] $\partial_y F(ay)|_{y_0}=f(y_0)\cdot [/mm] a$
Ein wenig komplizierter wirds, wenn y als integrationsgrenze UND im integranden auftaucht:
[mm] $H(y)=\int_0^y h(u,y)\, [/mm] du$
dieser fall tritt bei dir ein. man kann sich recht leicht überlegen, dass dann gilt
[mm] $\partial_y H(y)|_{y_0}=h(y_0,y_0)+\int_0^{y_0}\partial_y h(u,y_0)\,du$
[/mm]
Mit diesen Formeln solltest du deine aufgabe lösen können.
Gruß
Matthias
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Hallo Matthias
erst einmal danke für deine schnelle antwort
ich hätte aber noch zwei fragen hierzu
habe ich es richtig verstaden, dass ich, um die dritte formel anwenden zu können, ich zunächst das innere integral lösen muß?
in meinem fall ist die integrationsgrenze doch eine funktion von y. muss ich daher nicht wie in deiner zweiten formel die beiden terme mit der ableitung von f(y) multiplizieren?
clemens
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> Hallo Matthias
> erst einmal danke für deine schnelle antwort
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> ich hätte aber noch zwei fragen hierzu
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> habe ich es richtig verstaden, dass ich, um die dritte
> formel anwenden zu können, ich zunächst das innere integral
> lösen muß?
Nein, ich denke, du musst zunächst das äußere integral ableiten. Wenn du das machst (anhand der 3. formel), musst du allerdings für den zweiten summanden dann auch das innere integral ableiten.
> in meinem fall ist die integrationsgrenze doch eine
> funktion von y. muss ich daher nicht wie in deiner zweiten
> formel die beiden terme mit der ableitung von f(y)
> multiplizieren?
ja, genau.
habe gerade noch einen kleinen fehler bei mir entdeckt:
es gilt natürlich
[mm] $\partial_y F(ay)|_{y_0}=f(ay_0)\cdot [/mm] a.$
GRuß
Matthias
>
> clemens
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