Doppelintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral
[mm] \integral_{R²}^{}\bruch{1}{2\pi}* [/mm] x² * exp (-(x² + xy + [mm] \bruch{y²}{2}{)) d(x,y)} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe mir eben eine Matheklausur angeschaut und da kam die o.g. Aufgabe dran. Ich hab leider absolut keine Ahnung, wie ich dieses Integral berechnen soll. Zum einen weil das eine etwas längere Gleichung ist und zum anderen weil das Integral von x UND y bestimmen muss, was ich (leider) noch nie berechnet habe.
Kann mir einer anhand der oben genannten Aufgabe weiterhelfen?
Ich wäre euch sehr dankbar!
|
|
| |
|
> Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\integral_{R²}^{}\bruch{1}{2\pi}*[/mm] x² * exp (-(x² + xy +
> [mm]\bruch{y²}{2}{)) d(x,y)}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mir eben eine Matheklausur angeschaut und da kam
> die o.g. Aufgabe dran. Ich hab leider absolut keine Ahnung,
> wie ich dieses Integral berechnen soll. Zum einen weil das
> eine etwas längere Gleichung ist und zum anderen weil das
> Integral von x UND y bestimmen muss, was ich (leider) noch
> nie berechnet habe.
>
> Kann mir einer anhand der oben genannten Aufgabe
> weiterhelfen?
Hallo,
wenn es nicht dran war, wirst Du sowas in der Klausur nicht berechnen müssen.
Allerdings lebe ich nicht auf dem Mond, und die Lebenserfahrung sagt mir: es war dran, und Du hast die entsprechenden Übungsaufgaben nie gerechnet und womöglich die Übung gar nicht besucht... Keine Ahnung also, bis zu welchem Punkt Du halbwegs informiert bist, es klingt ja so, als wären Dir prinzipiell Doppelintegrale suspekt.
Schauen wir uns erstmal den [mm] \IR² [/mm] an, das ist die Menge [mm] ]-\infty,+\infty[ [/mm] x [mm] ]-\infty,+\infty[, [/mm] also die Menge aller (x,y) mit x,y [mm] \in ]-\infty,+\infty[.
[/mm]
Mit diesem Wissen kann man obiges Integral schreiben als
[mm] \red{\integral_{-\infty}^{\infty}}(\blue{\integral_{-\infty}^{\infty}}\bruch{1}{2\pi}*x² [/mm] * [mm] e^{-(x² + xy + \bruch{y²}{2})}\blue{dx})\red{dy}.
[/mm]
Zuerst berechnet man das innere Integral (Informiere Dich beizeiten darüber, wann und wie man die Reihenfolge vertauschen kann - man würde das hier wohl tun, weil es andersrum einfacher aussieht, ich lasse es aber jetzt so.) [mm] \blue{\integral_{-\infty}^{\infty}}\bruch{1}{2\pi}*x² [/mm] * [mm] e^{-(x² + xy + \bruch{y²}{2})}\blue{dx}.
[/mm]
Das y ist hierbei wie eine Konstante zu betrachten. Mit einer kl. Umformung hat man
[mm] \blue{\integral_{-\infty}^{\infty}}\bruch{1}{2\pi}*x² [/mm] * [mm] e^{-(x² + xy + \bruch{y²}{2})}\blue{dx}= \blue{\integral_{-\infty}^{\infty}}\bruch{1}{2\pi}*x² [/mm] * [mm] e^{-((x+\bruch{y}{2})²+\bruch{y²}{4})}\blue{dx} =\bruch{1}{2\pi} e^{-\bruch{y²}{4}}\blue{\integral_{-\infty}^{\infty}}x² [/mm] * [mm] e^{-((x+\bruch{y}{2})²)}\blue{dx},
[/mm]
und hieran würde man sich nun mit den einschlägigen Methoden versuchen - das wird allerdings nicht erfolgreich sein.
Mal angenommen, man wäre erfolgreich gewesen, dann wüde man nun die Integration [mm] \red{\integral_{-\infty}^{\infty}}(\blue{Ergebnis}\red{dy} [/mm] ausführen.
Ich habe nun versucht, an diesem nicht so guten Beipiel das Prinzip der doppelten Integration zu erklären.
Speziell bei dieser Aufgabe kommt ein anderer Aspekt ins Spiel, das Gaußsche Fehlerintegral - vielleicht sagst Du erstmal, ob der für Dich relevant ist oder eher nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wie dir schon geantwortet wurde, kannst du einfach erst nach der einen, dann nach der anderen Variable integrieren. Die Reihenfolge der Integration ist in diesem Fall egal (falls du mehr darüber wissen willst [mm] \to [/mm] Satz von Fubini und Satz von Tonelli).
Mathematica spuckt mir als Ergebniss 1 aus... ist ja geil ^^
|
|
|
| |
|
> Mathematica spuckt mir als Ergebniss 1 aus... ist ja geil
> ^^
Hallo,
ich würd#s zwar etwas anders formulieren, aber ich finde das auch!
Es kommt durch den Faktor [mm] \bruch{1}{2\pi}.
[/mm]
Es ist nämlich [mm] \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm [/mm] dt. [mm] =\wurzel{2\pi}, [/mm] und dieses Integral steckt ja in der Aufgabe mit drin.
Entweder soll man hier das entsprechende Ergebnis verwenden, oder mit demselben Trick wie bei der Berechnung des obigen Integrals arbeiten.
Falls Du ihn nicht kennst, kannst Du ihn ![[]](/images/popup.gif) hier nachkesen, Absatz "Normierung". (Ich finde das ziemlich raffiniert.)
Falls Du ihn schon kennst und im Standardrepertoire hast: ignorieren.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
