Doppelintegral auflösen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Di 19.02.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{2} \integral_{-\Pi}^{\Pi}{r^{4}cos^{2}\phi sin^{2}\phi \ \ d\phi dr} [/mm] |
Hallo zusammen,
das Doppelintegral kann ich doch auch schreiben als:
[mm] \integral_{0}^{2} r^{4} dr \integral_{-\Pi}^{\Pi}{cos^{2}\phi sin^{2}\phi \ \ d\phi} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{2} r^{4} dr \integral_{-\Pi}^{\Pi}{cos^{2}\phi \ \ d\phi}\integral_{-\Pi}^{\Pi}{sin^{2}\phi \ \ d\phi} [/mm]
Ist das bis hierhin richtig?
Und wie finde ich die Stammfunktion von [mm] cos^{2}\phi [/mm] bzw. [mm] sin^{2}\phi?
[/mm]
Vielen Dank und viele Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 19.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo roadrunner, vielen Dank für Deine schnelle Antwort!
Ist es denn ein Unterschied, ob ich
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{\cos^{2}\phi *\sin^{2}\phi \ \ d\phi}[/mm]
oder
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\cos^{2}\phi *\sin^{2}\phi \ \ d\phi}[/mm]
(Beachte die unterschiedlichen Integrationsgrenzen).
Denn Null soll insgesamt eigentlich nicht herauskommen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") sondern [mm] \bruch{8\pi}{3}
[/mm]
Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Di 19.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo roadrunner, vielen Dank für Deine schnelle Antwort!
>
> Ist es denn ein Unterschied, ob ich
>
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos^{2}\phi *\sin^{2}\phi \ \ d\phi}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\cos^{2}\phi *\sin^{2}\phi \ \ d\phi}[/mm]
>
> (Beachte die unterschiedlichen Integrationsgrenzen).
>
> Denn Null soll insgesamt eigentlich nicht herauskommen
> sondern [mm]\bruch{8\pi}{3}[/mm]
>
> Grüße, Andreas
>
Hier hat mein Vorredner unrecht.
[mm] \cos^{2}\phi *\sin^{2}\phi [/mm] ist NICHT punktsymmetrisch zum Ursrung. Es gillt f(x)=f(-x), also liegt Achsensymmetrie vor.
Zum Integrieren schlage ich vor, sin²x cos²x als [mm] \bruch{sin^2(2x)}{4} [/mm] zu schreiben.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Di 19.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo abakus, vielen Dank für Dank für Deinen post!
Aber von [mm] \bruch{sin^2(2x)}{4} [/mm] lässt sich die Stammfunktion auch nicht so ganz einfach finden, oder?
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Di 19.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn dir klar ist dass sin^2x und cos^2x über eine Periode integriert gleich sind, kannst du das bestimmte Integral als die Hälfte des Integrals über sin^2x+cos^2x=1 lösen!
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Di 19.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich dachte du hast ein bestimmtes Integral? sonst sorry.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo leduart, ja ich habe ein bestimmtes Integral, also entweder:
[mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos^{2}\phi \cdot{}\sin^{2}\phi \ \ d\phi}[/mm]
oder, weil [mm]cos^{2}\phi \cdot{}\sin^{2}\phi = \bruch{sin^2(2x)}{4} [/mm] ist, kann ich mein Integral auch schreiben als:
[mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{sin^2(2x)}{4} \ \ d\phi}[/mm]
Jetzt weiß ich noch nicht, wie ich Deine Bemerkung:
"Wenn dir klar ist dass sin^2x und cos^2x über eine Periode integriert gleich sind, kannst du das bestimmte Integral als die Hälfte des Integrals über sin^2x+cos^2x=1 lösen!
gruss leduart"
hier unterbringen kann, um die Stammfunktion für das Integral zu finden. das bereitet mir nämlich hier die Mühe.
Vielen Dank und viele Grüße, Andreas
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Hallo!
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{sin²(2x)}{4} dx}=\bruch{1}{4}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin²(2x) dx} [/mm] Nun substituiere: z=2x
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Tyskie, vielen Dank für Deinen post.
Was leduart schreibt, ist mir schon einigermaßen klar, aber mann muss natürlich um einige Ecken denken. Auch muss man erst Mal drauf kommen, dass [mm]cos^{2}\phi \cdot{}\sin^{2}\phi = \bruch{sin^2(2x)}{4}[/mm] ist.
Wie würde es nach Deinem Ansatz denn weiter gehen, wenn ich 2x durch z substituiere erhalte ich ja:
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{sin²(2x)}{4} dx} = \bruch{1}{4}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin²(2x) dx} = \bruch{1}{4}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin²(z) dz}[/mm] ist das richtig?
Und dann die Stammfunktion von sin²(z) bestimmen, wie mache ich das?
Sorry, aber wahrscheinlich stehe ich etwas auf dem Schlauch.
Viele Grüße, Andreas
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Hallo Andreas!
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{sin²(2x)}{4} dx} = \bruch{1}{4}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin²(2x) dx} = \bruch{1}{4}\integral_{-\pi}^{\pi}{sin²(z) dz}[/mm]
> ist das richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du musst hier auch die Integrationsgrenzen und das Differential $dx_$ entsprechend substituieren, so dass man erhält:
[mm] $$\bruch{1}{4}*\integral_{-\pi}^{\pi}{\sin^2(2x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\integral_{-2\pi}^{2\pi}{\sin^2(z) \ \bruch{dz}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{8}*\integral_{-2\pi}^{2\pi}{\sin^2(z) \ dz} [/mm] \ = \ ...$$
Das Integral kannst Du nun z.B. mittels partieller Integration lösen, indem Du aufteilst: [mm] $\sin^2(z) [/mm] \ = \ [mm] \sin(z)*\sin(z)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo roadrunner, danke für Deine Hilfe. Das mit den Grenzen ändern beim substituieren darf man natürlich nicht vergessen...
Also mit partieller Integration würde das dann in etwa so aussehen:
[mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\integral_{-\pi}^{\pi}{\sin^2(2x) \ dx} \ = \ \bruch{1}{4}\cdot{}\integral_{-2\pi}^{2\pi}{\sin^2(z) \ \bruch{dz}{2}} \ = \ \bruch{1}{8}\cdot{}\integral_{-2\pi}^{2\pi}{\sin^2(z) \ dz} \ = \ \bruch{1}{8}\cdot{}\integral_{-2\pi}^{2\pi}{\sin(z)* sin(z) \ dz} \ = [/mm]
[mm] = \bruch{1}{8}* [sin(x)*-cos(x)]_{-2\pi}^{2\pi}* \integral_{-2\pi}^{2\pi}{\cos(z)* -cos(z) \ dz}[/mm]
Und dann?
Viele Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Tyskie,
also, der erste Teil [mm] \bruch{1}{8}\cdot{} [sin(x)\cdot{}-cos(x)]_{-2\pi}^{2\pi} [/mm] ist sowieso schon mal Null.
Übrig bleibt:
[mm]\integral_{-2\pi}^{2\pi}{\sin(z)\cdot{} sin(z) \ dz} = - \integral_{-2\pi}^{2\pi}{\cos(z)\cdot{} -cos(z) \ dz} = \integral_{-2\pi}^{2\pi}{\cos(z)\cdot{} cos(z) \ dz}[/mm]
Jetzt wieder partielle Integration führt zu:
[mm]\integral_{-2\pi}^{2\pi}{\sin(z)\cdot{} sin(z) \ dz} = [cos(z)\cdot{}sin(z)]_{-2\pi}^{2\pi} - \integral_{-2\pi}^{2\pi}{-\sin(z)\cdot{} sin(z) \ dz} = [cos(z)\cdot{}sin(z)]_{-2\pi}^{2\pi} + \integral_{-2\pi}^{2\pi}{\sin(z)\cdot{} sin(z) \ dz}[/mm]
Soweit richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Tyskie, vielen Dank für die ausführliche Anleitung. Jetzt habe ich es verstanden. Ich werde es mal in meine Aufgabe "überführen".
Vielen Dank noch mal für Deine Geduld!
Liebe Grüße, Andreas
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Hallo Andreas!
Verwende hier den trigonometrischen Pythagoras mit [mm] $\sin^2(z)+\cos^2(z) [/mm] \ = \ 1$ .
Damit kannst Du im neuen Integral ersetzen: [mm] $\cos^2(z) [/mm] \ = \ [mm] 1-\sin^2(z)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 20.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo roadrunner, entschuldige bitte meine Nachfrage, aber es lässt mir einfach keine Ruhe.
Meinst Du damit, dass ich im ersten Integral, also
[mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos^{2}\phi \cdot{}\sin^{2}\phi \ \ d\phi}[/mm]
dann so schreiben soll, wenn ich [mm]\cos^2(\phi) \ = \ 1-\sin^2(\phi)[/mm] einsetze erhalte ich ja:
[mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos^{2}\phi \cdot{}\sin^{2}\phi \ \ d\phi} = \integral_{-\pi}^{\pi}{(1-\sin^{2}\phi) \cdot{}\sin^{2}\phi \ \ d\phi} = \integral_{-\pi}^{\pi}{sin^{2}\phi - \sin^{4}\phi \ \ d\phi} [/mm]
Ist das dann einfacher zu rechnen? das sieht mir eher komplizerter aus, oder?
Viele Grüße, Andreas
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Hallo Andreas!
Nein! Ich meinte, dass Du die o.g. Ersetzung bei dem neu entstandenen Integral [mm] $\integral{\cos^2(z) \ dz}$ [/mm] vornehmen sollst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mi 20.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{sin^2(2x)}{4} \ \ d\phi}[/mm]
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{sin^2(2x) dx}=\integral_{-\pi}^{\pi}{cos^2(2x) dx}
[/mm]
2* [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{sin^2(2x) dx}=\integral_{-\pi}^{\pi}{sin^2(2x)+cos^2(2x) dx}=\integral_{-\pi}^{\pi}{1 dx}
[/mm]
> Jetzt weiß ich noch nicht, wie ich Deine Bemerkung:
>
> "Wenn dir klar ist dass sin^2x und cos^2x über eine Periode
> integriert gleich sind, kannst du das bestimmte Integral
> als die Hälfte des Integrals über sin^2x+cos^2x=1 lösen!
> gruss leduart"
>
> hier unterbringen kann, um die Stammfunktion für das
> Integral zu finden. das bereitet mir nämlich hier die
> Mühe.
Meine Bemerkung sagt, dass du keine Stammfunktion brauchst!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Di 19.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Andreas!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Da habe ich mich leider vertan! Der Term [mm] $\sin^2(\phi)*\cos^2(\phi)$ [/mm] ist achsensymmetrisch und das entsprechende Integral auch [mm] $\not= [/mm] \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Di 19.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo roadrunner, nicht so schlimm, ich war nur etwas . Aber jetzt wird es hoffentlich bald klarer.
Viele Grüße, Andreas
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
Was willst Du mir damit sagen?![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
