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Doppelintegral lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 So 25.03.2018
Autor: Pacapear

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Berechne das folgende Integral:

$\int_1^a \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy dx$

Hallo zusammen!

Ich soll das obige Integral berechnen.

Ich bin so weit gekommen:

$\int_1^a \left( \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy \right) dx$

$= \int_1^a \left( \left[ \frac{1}{x^3} * x * e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=b} \right) dx$

$= \int_1^a \left( \left[ \frac{1}{x^2} * e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=b} \right) dx$

$= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} -  \frac{1}{x^2} \right) dx$

$= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} \right) dx$ - $\int_1^a \frac{1}{x^2} dx$

Ich habe jetzt versucht, das erste Integral mit partieller Integration zu lösen, dazu habe ich \frac{1}{x^2} als $g$ gewählt und e^{\frac{b}{x}} als $f'$.

Dann bekomme ich für $g'=-\frac{2}{x^3}$ und für $f=-\frac{x^2}{b}e^{\frac{b}{x}}$.

Damit kriege ich weiter

$= \left[ -\frac{x^2}{b} e^{\frac{b}{x}} \right]_1^a - \int_1^a -\frac{x^2}{b} e^{\frac{b}{x}} * \left( -\frac{2}{x^3} \right) dx - \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a$

$= \left[ -\frac{x^2}{b} e^{\frac{b}{x}} \right]_1^a - \frac{2}{b} \int_1^a \frac{1}{x} e^{\frac{b}{x}} \right) dx - \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a$

Ich weiß nicht, wie ich jetzt weiter machen soll. Wenn ich nochmal partielle Integration anwende, bekomme ich ja einen $\ln$ da rein.

Weiß jemand, was ich machen muss?

Danke und VG,

Nadine

        
Bezug
Doppelintegral lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 So 25.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Berechne das folgende Integral:

>

> [mm]\int_1^a \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy dx[/mm]

>

> Ich soll das obige Integral berechnen.

>

> Ich bin so weit gekommen:

>

> [mm]\int_1^a \left( \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy \right) dx[/mm]

>

> [mm]= \int_1^a \left( \left[ \frac{1}{x^3} * x * e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=b} \right) dx[/mm]

>

> [mm]= \int_1^a \left( \left[ \frac{1}{x^2} * e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=b} \right) dx[/mm]

>

> [mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} - \frac{1}{x^2} \right) dx[/mm]

>

> [mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} \right) dx[/mm]
> - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]

>

Das ist bis dahin richtig* und es war auch eine gute Idee, die Differenz im Integranden in zwei Integrale aufzuteilen. [ok]

*EDIT: nicht ganz, siehe dazu die Mitteilung von HJKweseleit. Der Tipp mit der Substitution bleibt dennoch gültig.

> Ich habe jetzt versucht, das erste Integral mit partieller
> Integration zu lösen...

Das mit der partiellen Integration ist hier nicht zielführend, egal wie man die Faktoren f' und g wählt (sofern ich mich nicht irre).

Verwende die Substition

[mm] u(x)=\frac{1}{x} [/mm]

dann hat der (erste) Integrand nämlich sofort die Gestalt

[mm]-u'*e^{b*u}[/mm]

und man kann das Integral im Prinzip durch 'scharfes Hinsehen' erhalten (-> Kettenregel). Für den zweiten Integranden läuft es (bei Verwendung der korrekten Integrationsgrenzen für die Integration nach y) genauso.


Gruß, Diophant
 

Bezug
                
Bezug
Doppelintegral lösen: Richtig so?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 So 25.03.2018
Autor: Pacapear

Hallo!


>  > [mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} \right) dx[/mm] - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]

>  >
>  
> Das ist bis dahin richtig* und es war auch eine gute Idee,
> die Differenz im Integranden in zwei Integrale aufzuteilen.
> [ok]
>  
> *EDIT: nicht ganz, siehe dazu die Mitteilung von
> HJKweseleit. Der Tipp mit der Substitution bleibt dennoch
> gültig.
>  
> > Ich habe jetzt versucht, das erste Integral mit partieller
>  > Integration zu lösen...

>  
> Das mit der partiellen Integration ist hier nicht
> zielführend, egal wie man die Faktoren f' und g wählt
> (sofern ich mich nicht irre).
>  
> Verwende die Substition
>  
> [mm]u(x)=\frac{1}{x}[/mm]
>  
> dann hat der (erste) Integrand nämlich sofort die Gestalt
>  
> [mm]-u'*e^{b*u}[/mm]
>  
> und man kann das Integral im Prinzip durch 'scharfes
> Hinsehen' erhalten (-> Kettenregel).

Ich habe jetzt dann folgendes:

Die Substitution ist:

[mm] $t=\frac{1}{x} \Rightarrow t'=-\frac{1}{x^2} \Rightarrow dx=-x^2*dt$ [/mm]

Dann folgt für das Integral:

[mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{b*\frac{1}{x}} \right) dx[/mm] - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]

[mm]= \int_1^{\frac{1}{a}} \frac{1}{x^2} * e^{b*t} (-x^2)*dt[/mm] - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]

[mm]= - \int_1^{\frac{1}{a}} e^{b*t} dt[/mm] - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]

$= [mm] \left[ \frac{1}{b}e^{bt} \right]_1^{\frac{1}{a}} [/mm] - [mm] \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a$ [/mm]

$= [mm] \left[ \frac{1}{b}e^{bt} \right]_1^{\frac{1}{a}} [/mm] + [mm] \left[ \frac{1}{x} \right]_1^a$ [/mm]

$- [mm] \frac{1}{b} e^{\frac{b}{a}} [/mm] - [mm] \frac{1}{b} e^b [/mm] + [mm] \frac{1}{a} [/mm] - 1$

Ist das so richtig?



> Für den zweiten
> Integranden läuft es (bei Verwendung der korrekten
> Integrationsgrenzen für die Integration nach y) genauso.

Das zweite Integral [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm] kann ich doch direkt aufleiten, oder nicht?



VG Nadine

Bezug
                        
Bezug
Doppelintegral lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 Mo 26.03.2018
Autor: fred97


> Hallo!
>  
>
> >  > [mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{\frac{b}{x}} \right) dx[/mm]

> - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
>  >  >
>  >  
> > Das ist bis dahin richtig* und es war auch eine gute Idee,
> > die Differenz im Integranden in zwei Integrale aufzuteilen.
> > [ok]
>  >  
> > *EDIT: nicht ganz, siehe dazu die Mitteilung von
> > HJKweseleit. Der Tipp mit der Substitution bleibt dennoch
> > gültig.
>  >  
> > > Ich habe jetzt versucht, das erste Integral mit partieller
>  >  > Integration zu lösen...

>  >  
> > Das mit der partiellen Integration ist hier nicht
> > zielführend, egal wie man die Faktoren f' und g wählt
> > (sofern ich mich nicht irre).
>  >  
> > Verwende die Substition
>  >  
> > [mm]u(x)=\frac{1}{x}[/mm]
>  >  
> > dann hat der (erste) Integrand nämlich sofort die Gestalt
>  >  
> > [mm]-u'*e^{b*u}[/mm]
>  >  
> > und man kann das Integral im Prinzip durch 'scharfes
> > Hinsehen' erhalten (-> Kettenregel).
>
> Ich habe jetzt dann folgendes:
>  
> Die Substitution ist:
>  
> [mm]t=\frac{1}{x} \Rightarrow t'=-\frac{1}{x^2} \Rightarrow dx=-x^2*dt[/mm]
>  
> Dann folgt für das Integral:
>  
> [mm]= \int_1^a \left( \frac{1}{x^2} * e^{b*\frac{1}{x}} \right) dx[/mm]
> - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
>  
> [mm]= \int_1^{\frac{1}{a}} \frac{1}{x^2} * e^{b*t} (-x^2)*dt[/mm] -
> [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
>  
> [mm]= - \int_1^{\frac{1}{a}} e^{b*t} dt[/mm] - [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm]
>  
> [mm]= \left[ \frac{1}{b}e^{bt} \right]_1^{\frac{1}{a}} - \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a[/mm]
>  
> [mm]= \left[ \frac{1}{b}e^{bt} \right]_1^{\frac{1}{a}} + \left[ \frac{1}{x} \right]_1^a[/mm]
>  
> [mm]- \frac{1}{b} e^{\frac{b}{a}} - \frac{1}{b} e^b + \frac{1}{a} - 1[/mm]
>  
> Ist das so richtig?

Nicht ganz.  Es lautet : [mm]- \frac{1}{b} e^{\frac{b}{a}} +\frac{1}{b} e^b + \frac{1}{a} - 1[/mm]

>  
>
>
> > Für den zweiten
> > Integranden läuft es (bei Verwendung der korrekten
> > Integrationsgrenzen für die Integration nach y) genauso.
>  
> Das zweite Integral [mm]\int_1^a \frac{1}{x^2} dx[/mm] kann ich doch
> direkt aufleiten, oder nicht?

Nein , kannst Du nicht. Was soll aufleiten sein ? In meinem Wortschatz gibt es das nicht.

Du kannst das Integral direkt berechnen, was Du ja auch getan hast,

>  
>
>
> VG Nadine


Bezug
        
Bezug
Doppelintegral lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 So 25.03.2018
Autor: HJKweseleit


> Berechne das folgende Integral:
>  
> [mm]\int_1^a \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy dx[/mm]
>  
> Hallo zusammen!
>  
> Ich soll das obige Integral berechnen.
>  
> Ich bin so weit gekommen:
>  
> [mm]\int_1^a \left( \int_1^b \frac{1}{x^3} e^{\frac{y}{x}} dy \right) dx[/mm]
>  
> [mm]= \int_1^a \left( \left[ \frac{1}{x^3} * x * e^{\frac{y}{x}} \right]_{y=0}^{y=b} \right) dx[/mm]
>  

Ist die Untergrenze für y nicht 1 statt 0?




Bezug
                
Bezug
Doppelintegral lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 So 25.03.2018
Autor: Pacapear

Hallo!

> Ist die Untergrenze für y nicht 1 statt 0?

0 ist richtig.

Das war ein Tippfehler, der mir beim Drüberlesen leider durchgegangen ist.

VG Nadine

Bezug
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