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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Fr 25.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Die Doppelfolge [mm] (a_{k,n}) [/mm] sei durch [mm] a_{k,k}:=-\bruch{1}{2k} [/mm] , [mm] (a_{k,2k}):=\bruch{1}{2k-1} [/mm] , [mm] a_{k,n}:=0 [/mm] für [mm] n\not=k [/mm] oder [mm] n\not=2k [/mm] definiert.
Zu zeigen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty}(a_{k,n}))=2\summe_{n=1}^{\infty}(\summe_{k=1}^{\infty}(a_{k,n}))\not=0
[/mm]
Ist die Doppelreihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty}(a_{k,n})) [/mm] absolut konvergent? |
Ich habe nun folgendes gemacht:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty}(a_{k,n}))=\summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{n=k}^{\infty}(a_{k,n}))=\summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{n=k+1}^{\infty}(a_{k,n})-\bruch{1}{2k})=\summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{n=2k+1}^{\infty}(a_{k,n})+\bruch{1}{2k-1}-\bruch{1}{2k}))=\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2k-1}-\bruch{1}{2k}))=1 [/mm] (Durch Benutzen der Teleskopsumme)
Mein Problem ist nun, dass ich, wenn ich zu erst über n aufsummiere, auf das exakt gleiche komme, weil sich die obigen Schritte eigentlich einfach nur wiederholen. Was habe ich falsch gemacht? Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?
Wenn die Behauptung in der Aufgabenstellung stimmt (und das wird sie wohl), dann kann man daraus folgern, dass die Doppelreihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty}(a_{k,n})) [/mm] nicht absolut konvergent ist, weil sie nicht gegen den selben Wert konvergiert, wie die Doppelreihe, bei der wir zu erst über k aufsummieren (Cauchy'scher Doppelreihensatz)
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[mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} \right)[/mm] ist keine Teleskopsumme. Der Wert der Reihe ist vielmehr [mm]1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +- \ldots = \ln 2[/mm].
Bei der umgekehrten Summationsreihenfolge [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} a_{k,n}}_{b_n}[/mm] überlege, warum
[mm]b_n = \begin{cases} - \frac{1}{2n}, & n \ \text{ungerade} \\ \frac{1}{n-1} - \frac{1}{2n}, & n \ \text{gerade} \end{cases}[/mm]
gilt. Es könnte helfen, erst einmal ein paar Beispiel-[mm]n[/mm] durchzugehen, um das Prinzip zu verstehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 26.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
Ach ja stimmt, tatsächlich das ist keine Teleskopsumme.... Das mit ln(2) hatten wir nicht in der Vorlesung, aber ich denke das ist auch egal... Vielleicht muss ich den Reihenwert ja gar nicht ausrechnen. Also dann versuche ich mich mal an Part 2:
Wir überprüfen zwei Fälle:
F1) n ist ungerade. Wir setzen n=2j-1 wobei [mm] j\in\IN
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(a_{k,2j-1})=a_{2j-1,2j-1}=-\bruch{1}{2(2j-1)}=-\bruch{1}{2n}
[/mm]
Dies ist so, weil 2j-1 natürlich und ungerade ist. Es gibt also keine Zahl [mm] k\in\IN [/mm] sodass 2k=2j-1 gilt. Der Fall k=2j-1 ist jedoch möglich und der einzige Fall, indem der Summand ungleich 0 ist.
F2) n ist gerade. Wir setzen n=2j wobei [mm] j\in\IN
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(a_{k,2j})=a_{2j,2j}+a_{j,2j}=-\bruch{1}{2*2j}+\bruch{1}{2j-a}=\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{2n}
[/mm]
Wir erhalten also:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(b_{n}) [/mm] (wobei wir [mm] b_{n} [/mm] als das was du geschrieben hast definieren können) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(b_{2n})+\summe_{n=1}^{\infty}(b_{2n-1})= [/mm] (nach einigen Zusammenfassungen) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n(n-1)})
[/mm]
Aber irgendwie kann hier ja schon irgendwie etwas nicht stimmen oder? die Summe startet bei n=1, das bedeuet, unser erster Summand wäre [mm] "\bruch{1}{0}", [/mm] was ja völliger Blödsinn ist....
Hingegen wurde die andere Summe:
[mm] \bruch{1}{2}\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{k(2k-1)})
[/mm]
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Du hast recht: Der Schluß ist völliger Blödsinn. Aber bis kurz davor ist alles richtig (bis auf den Schreibfehler a statt 1).
Du darfst am Schluß die Reihen nicht additiv in zwei Reihen aufspalten. Denn diese Einzelreihen konvergieren gar nicht. Laß also die Glieder zusammen:
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \left( b_{2n-1} + b_{2n} \right)[/mm]
Und hierin gilt:
[mm]b_{2n-1} + b_{2n} = - \frac{1}{2 \cdot (2n-1)} + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2 \cdot 2n} = \frac{1}{2 \cdot (2n-1)} - \frac{1}{2 \cdot 2n} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Sa 26.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
Vielen Dank :) Jetzt habe ich Doppelreihen richtig verstanden :)
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