Doppelsumme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
| Aufgabe | Folgender Ausdruck muss berechnet werden:
[mm] \summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{i}\bruch{j}{i} [/mm] |
Will mich nun an einer Doppelsumme probieren.
Dazu hab ich in meiner Formelsammlung mal das angeschaut.
[mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{m}a_{ij}=\summe_{i=1}^{n}(a_{i1}+....a_{im})=a_{11}+...a_{1m}...+a_{n1}+...a_{nm}...
[/mm]
Diese "Regel" kann ich doch auf oben genanntes Problem übertragen, daher habe ich dann das so gerechnet:
[mm] \summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}{i}= \bruch{j}{i}_{11}+\bruch{j}{i}_{22}+\bruch{j}{i}_{33}+\bruch{j}{i}_{1i}+\bruch{j}{i}_{3i}+\bruch{j}{i}_{i1}=6*\bruch{j}{i}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Irgendwas stimmt da nicht. Wo ist der der obere Index von der j-Summe? Und am Ende darf nichts rauskommen, wo noch ein i oder j vorkommt.
In diesem Fall würde ich das einfach direkt ausrechnen, ohne irgendwelche fehleranfälligen Umformungen.
$ [mm] \summe_{i=1}^{3}\summe_{j=1}^{i}\bruch{j}{i} =\summe_{i=1}^{3}(\summe_{j=1}^{i}\bruch{j}{i})= \summe_{j=1}^{1}\bruch{j}{1}+ \summe_{j=1}^{2}\bruch{j}{2} [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{3}\bruch{j}{3}=...$ [/mm] jetzt du!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Danke Teufel für die Idee:
Habe nun das so wie du hast mir mal aufgeschrieben,
wie in der "Regel" kommt man ja jetzt auf eine Summe... und dann fällt die erste Summe weg? Wie kann ich mir solch eine Regel besser merken, was steckt da dahinter?
Habe also die Werte eingesetzt:
[mm] 1+\bruch{1}{2}+1+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2}+1
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{3}
[/mm]
DANKE!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Also da musst du nochmal nachrechnen. :)
Du hast $ [mm] 1+\bruch{1}{2}+1+\bruch{1}{3}+\red{\bruch{2}{3}}+1 [/mm] =4,5$.
Und ja, ein Summenzeichen kannst du immer wegbekommen, wenn du die Summe einfach explizit hinschreibst. Oder was meinst du genau? Auch die Regel aus der Formelsammlung folgt nur aus der Gleichung [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i=a_1+...+a_n.
[/mm]
Ich kann das ja mal vormachen:
Du hast also [mm] \summe_{i=1}^{n}(\summe_{j=1}^{m}a_{i,j}). [/mm] Die innere Summe [mm] \summe_{j=1}^{m}a_{i,j} [/mm] kennst du, diese ist einfach [mm] \summe_{j=1}^{m}a_{i,j}=a_{i,1}+...+a_{i,m}. [/mm] Sieht wegen der 2 Indizes vielleicht ungewohnt aus, ist aber einfach nur die Definition des Summenzeichens. Für j mal jede Zahl einsetzen und alles aufsummieren.
Also hast du [mm] \summe_{i=1}^{n}(\summe_{j=1}^{m}a_{i,j})= \summe_{i=1}^{n}(a_{i,1}+...+a_{i,m}). [/mm] Nun wendest du wieder die Definition des Summenzeichens an, für i jede Zahl zwischen 1 und n einmal einsetzen und alles aufsummieren.
[mm] \summe_{i=1}^{n}(a_{i,1}+...+a_{i,m})=(a_{1,1}+...+a_{1,m})+(a_{2,1}+...+a_{2,m})+...+(a_{n,1}+...+a_{n,m})
[/mm]
Hilft dir das Beispiel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Regel verstanden!!
Ich habe manchmal Probleme, die Dinge umzusetzen, die in der Formelsammlung stehen... ich denke ich zu vorschnell und lasse mich fehlleiten, weil ich oftmals im kopf gleich wieder woanders bin!!
Vielen Dank Teufel! Jetzt kann ich beruhigt schlafen und es mir einprägen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem! :)
Ja, manchmal muss man sich durchringen einfach immer stupide nach einer Definition zu gehen, auch wenn das ganze etwas komplizierter oder ungewohnt aussieht. Diese ganzen Summenregeln kriegt man eigentlich immer recht leicht.
z.B. gilt ja auch $ [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{m}a_{i,j}=\summe_{j=1}^{m}\summe_{i=1}^{n}a_{i,j}$, [/mm] also man kann Summen vertauschen! Sieht erst mal schwierig aus das nachzuvollziehen, aber wenn man beide Summen ausschreibt, wie ich das für [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{m}a_{i,j} [/mm] einmal getan habe, dann sieht man dass beides echt das gleiche ist.
[mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{m}a_{i,j}=(a_{1,1}+...+a_{1,m})+(a_{2,1}+...+a_{2,m})+...+(a_{n,1}+...+a_{n,m}) [/mm] wie schon gezeigt und genau so kann man
[mm] \summe_{j=1}^{m}\summe_{i=1}^{n}a_{i,j}=(a_{1,1}+...+a_{n,1})+(a_{1,2}+...+a_{n,2})+...+(a_{1,m}+...+a_{n,m}).
[/mm]
Nun gilt aber [mm] (a_{1,1}+...+a_{1,m})+(a_{2,1}+...+a_{2,m})+...+(a_{n,1}+...+a_{n,m})=(a_{1,1}+...+a_{n,1})+(a_{1,2}+...+a_{n,2})+...+(a_{1,m}+...+a_{n,m}). [/mm] Das kann man z.B. so begründen: Jeder Summand der rechts vorkommt, kommt auch genau einmal links vor und jeder Summand, der links vorkommt, kommt genau einmal rechts vor. Also steht da wirklich das gleiche und die Formel ist bewiesen. Mit diesen ganzen Indizes und Variablen ist das etwas mühselig und abschreckend, aber dahinter steht eigentlich nur das Kommutativgesetz, du kannst also Summanden vertauschen.
Beispiel: [mm] \summe_{i=1}^{2}\summe_{j=1}^{3}a_{i,j}=(a_{1,1}+a_{1,2}+a_{1,3})+(a_{2,1}+a_{2,2}+a_{2,3})
[/mm]
und
[mm] \summe_{j=1}^{3}\summe_{i=1}^{2}a_{i,j}=(a_{1,1}+a_{2,1})+(a_{1,2}+a_{2,2})+(a_{1,3}+a_{2,3})
[/mm]
Und natürlich stehen auf beiden Seiten die gleichen Summanden, nur anders angeordnet.
Will damit nur zeigen, dass das alles kein Hexenwerk ist.
Bei deiner Aufgabe kann man diese Regel allerdings nicht anwenden. Sie klappt nur, wenn m und n nicht von i oder j abhängen. Bei deiner Aufgabe läuft j allerdings von 1 bis i und i ist auch eine Laufvariable. Da kannst du nicht einfach tauschen, denn:
[mm] \summe_{j=1}^{i}\summe_{i=1}^{3}\bruch{j}{i} [/mm] würde keinen Sinn machen, weil die äußere Summe bis i laufen muss, aber man nicht weiß, wie groß das i eigentlich sein soll. Steht [mm] \summe_{j=1}^{i} [/mm] dagegen innen, so weiß man, dass i erst 1 ist, dann 2 und am Ende 3.
Puh, so ich hoffe das dich das nicht verwirrt hat. Gute Nacht!
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