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| Aufgabe | i,j [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] a_{i,j}=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \mbox{ i=j} \\ -1, & \mbox{falls} \mbox{ i=j+1} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
ich soll klären, ob die Aussage richtig ist:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\summe_{j=1}^{\infty} a_{i,j} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{\infty}\summe_{i=1}^{\infty}a_{i,j} [/mm] |
eigentlich scheint mir diese Aussage richtig zu sein, weil bei der Definition von [mm] a_{i,j} [/mm] steht ja, dass wenn i=j ist, dann ist [mm] a_{i,j} [/mm] = 1
das würde heißen, dass ich auf beiden Seiten unendlich viele Summanden als 1 hätte, und dies wäre ja gleich.
Doch ich wusste nicht mehr, ob ich meine Überlegung auf das Unendliche einfach so übertragen kann, weil ich hier ja eine unendliche Reihe habe, gilt die Gleichheit, dann trotzdem?
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Hallo!
Im Prinzip ist [mm] a_{i,j} [/mm] eine Matrix, die fast nur aus Nullen besteht. Nur in der Diagonalen stehen Einsen, und unter jeder 1 steht eine -1.
Dein Ausdruck summiert nun alle Elemente der Matrix auf, die linke Version Spalt für Spalte, die rechte Zeile für Zeile.
Eigentlich sollten beide Summen daher äquivalent sein. Allerdings sehe ich grade dein Problem:
- Die Summe der ersten Zeile ist 1, die aller nachfolgenden ist 0.
- Die Summe der ersten Spalte ist 0, genauso wie die Summe aller nachfolgenden Spalten
Vielleicht sollte da doch nochmal jemand etwas genauer drüber gucken, der davon mehr versteht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> i,j [mm]\in \IN:[/mm]
> [mm]a_{i,j}=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \mbox{ i=j} \\ -1, & \mbox{falls} \mbox{ i=j+1} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> ich soll klären, ob die Aussage richtig ist:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\summe_{j=1}^{\infty} a_{i,j}[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{\infty}\summe_{i=1}^{\infty}a_{i,j}[/mm]
> eigentlich scheint mir diese Aussage richtig zu sein, weil
> bei der Definition von [mm]a_{i,j}[/mm] steht ja, dass wenn i=j ist,
> dann ist [mm]a_{i,j}[/mm] = 1
> das würde heißen, dass ich auf beiden Seiten unendlich
> viele Summanden als 1 hätte, und dies wäre ja gleich.
> Doch ich wusste nicht mehr, ob ich meine Überlegung auf
> das Unendliche einfach so übertragen kann, weil ich hier
> ja eine unendliche Reihe habe, gilt die Gleichheit, dann
> trotzdem?
Hallo, looney_tune,
Du hast auf keiner Seite unendlich viele Einsen zu summieren!
Für $i=1$ ist [mm] $\sum_{j=1} ^\infty a_{i, j}= [/mm] 1$, da [mm] $a_{1,1}=1$ [/mm] ist und für die anderen $j$ die [mm] $a_{1, j}$ [/mm] verschwinden.
Für $i>1$ ist [mm] $\sum_{j=1} ^\infty a_{i, j} [/mm] = 0$, da [mm] $a_{i ,i} [/mm] = 1$ ist, [mm] $a_{i, i-1} [/mm] = -1$ ist und für die anderen Indexpaare die [mm] $a_{i,j}$ [/mm] verschwinden.
Damit ist die linke Seite gleich 1.
Und jetzt bestimme den Wert der rechten Seite.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
für j=1 ist [mm] \sum_{i=1} ^\infty a_{i, j}= [/mm] 1, da [mm] a_{1, 1}=1 [/mm] ist, für andere i verschwindet [mm] a_{i,1}
[/mm]
für j > 1 ist [mm] \sum_{i=1}^\infty a_{i, j}= [/mm] -1 , [mm] a_{j,j}=1 [/mm] , [mm] a_{j,j+1}= [/mm] -1
Damit wäre die rechte Seite gleich 0.
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ich habe auch noch mal eine Frage zur Matrixschreibweise,
also die linke Seite sieht doch so aus :
1 +0+0+0+....
-1 +1+0+0+...
0 +0-1+1+...
. . . .
. . . .
muss ich jetzt auf der rechten Seite zuerst die j-Werte eintragen?
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sieht dann die Matrix der rechten Seite so aus:
1-1+0+0+0...
0+1-1+0+0...
0+0+1-1+0...
0+0+0+1-1...
. . . . .
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Hallo!
Die Matrix bleibt die gleiche, das ist ja nur eine Tabelle, die die Werte von [mm] a_{i,j} [/mm] etwas anschaulicher darstellt.
Es geht eben nur darum, ob du beim Addieren aller Elemente zeilenweise oder spaltenweise vorgehst. Das ist der Unterschied zwischen den beiden Seiten der Gleichung.
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achso super vielen Dank, habs endlich verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Do 29.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau dir mal die Matrix an. In der ersten Spalte hast du keine -1, in allen anderen je eine 1 und eine -1. Das heisst, wenn du zuerst die Spalten addierst, bekommst du [mm] 1+0+\ldots0=1
[/mm]
Addierst du aber die Zeilen zuerst, addierst du lauter Nullen.
Damit du ein Gefühl für diese Summen bekommst, überlege mal, ob das ao auch für $ [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n} a_{i,j} [/mm] $, also für eine "endliche Matrix" gelten würde.
Überlege auch mal, was passieren würde, wenn du keine quadratische Matrixdarstellung hättest, also $ [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{m} a_{i,j} [/mm] $. Was passiert hier, wenn m>n und was, wenn m<n?
Marius
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