Doppelte Nullstelle - Hilfe < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Di 27.05.2008 | | Autor: | Viper2k1 |
| Aufgabe | Gegeben ist die ganzrationale Funktion [mm] y=f(x)=\bruch{1}{4}x^{4}-\bruch{1}{4}x^{3}-2x^{2}+3x
[/mm]
a) Weisen Sie mit hilfe der Polynomdivision nach, dass die gegebene Fuktion f an der Stelle [mm] x_{0}=2 [/mm] eine doppelte Nullstelle besitzt. |
Guten Tag.
Irgendwie geht bei mir schon die Polynomdivision nicht auf, da ich am Ende -9 anstatt 0 rauskriege oder ist das garnicht von Nöten 0 rauszubekommen beim Nachweis von 2 Nullstellen? Ich hab echt keine Ahnung, ich hab es schon 10 Mal gerechnet und bekomme immer das Gleiche raus. Wenn ich mich recht erinner muss ich 2 mal Polynomdivision nacheinander machen aber ich frage mich wie, da ich bei der ersten ja schon nicht 0 rausbekomme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Loddar hat dir ja schon den entscheidenden Hinweis gegeben.
Im Prinzip steckt ja schon alles in der Aufgabe an sich.
Wenn dein Lehrer fies gewesen wäre, dann hätte er gefragt:
An welcher Stelle hat die Funktion [mm]y=f(x)=\bruch{1}{4}x^{4}-\bruch{1}{4}x^{3}-2x^{2}+3x[/mm] eine Nullstelle?
Und die Antwort wäre dann gewesen, dass bei [mm] x_{0}=2 [/mm] eine doppelte Nullstelle vorliegt.
Wenn du die Funktion durch [mm] (x-2)^{2} [/mm] also durch [mm] (x^{2}-4x+4) [/mm] dividierst, dann kommt raus
[mm] 0.25*x^{2}+0.75*x [/mm] und zwar ohne Rest
Dieses "ohne Rest" zeigt dir dann die doppelte Nullstelle an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Di 27.05.2008 | | Autor: | Viper2k1 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die weiteren Nullstellen |
Edit* Danke, die ersten Antworten waren super und haben mir sehr geholfen.
Okay, dann hab ich also [mm] \bruch{1}{4}x^{2}+\bruch{3}{4}x [/mm] und wie mache ich dann weiter? P/Q-Formel kann ich ja dann nicht mehr anwenden, weil ich kein Absolutes Glied mehr habe, muss ich dann einfach ausklammern? Dann hätte ich ja, wenn ich mich grad nicht total irre, [mm] \bruch{1}{4}x(x+3)=0 [/mm] und dann wären meine Nullstellen folgende: [mm] N_{1}=(2/0); N_{2}=(2/0); N_{3}=(0/0) [/mm] oder hab ich da gerade einen Denkfehler? Sorry ich kriegs grad echt nicht auf die Reihe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Ausklammern war schon richtig !
Jetzt siehst Du : 2 ist eine doppelte Nullstelle und 0 und -3 sind jeweils einfache Nullstellen (siehst Du wie ich auf -3 gekommen bin?)
Übrigends: pq-Formel geht auch hier. Das absolute Glied ist halt 0, also q=0.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Di 27.05.2008 | | Autor: | Viper2k1 |
Ja, allerdings nur, wenn ich die P/Q-Formel mit 0 als absolutem Glied mache, ansonsten wüßte ich nicht, wie Sie darauf gekommen sind. Durch probieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast 0,25x(x+3) = 0.
Ein Produkt ist =0, wenn einer der beiden Faktoren =0 ist,
für obige Gleichung heißt das: es ist x=0 oder x+3=0,
also x=0 oder x=-3.
Alles Klar?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Di 27.05.2008 | | Autor: | Viper2k1 |
| Aufgabe | | Weisen Sie mit Hilfe der Polynomdivision nach, dass die gegebene Funktion f an der Stelle [mm] x_{0}=x [/mm] eine doppelte Nullstelle besitzt! |
Ja danke, jetzt hab ich es wieder. :)
Die Aufgabe geht dann mit b) weiter und zwar folgend: Bestimmen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung die Koordinaten der Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Damit ist doch einfach nur gemeint per Notwendiger und Hinreichender Bedingung jeweils die Punkte zu bestimmen oder?
Ich fände es super, wenn mir jemand 2-3 Funktionen zum üben sagen könnte, allerdings mit einem absoluten Glied am Ende, da ich weiß, dass so eine morgen in meine Fachabiturprüfung dran kommt, damit wir garnicht erst auf die Idee kommen schon vor der Polynomdivision auszuklammern.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Di 27.05.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Es wäre hier gar nicht schlimm gewesen, falls du zunächst x ausgeklammert hättest und dann erst eine Polynomdivision durchgeführt hättest.
Du hättest das gleiche Ergebnis erhalten.
Ja, du musst nun "wie gewohnt" die Extremstellen und Wendestellen mit den bekannten Kriterien bestimmen.
Wieso machst du dann nicht erstmal die b) ?
Zunächst die Ableitungen und dann einmal einen Musterrechenweg/ Lösung von dir.
Dann kannst du dir noch mehr Aufgaben vornehmen; ich persönlich find es halt immer nett, wenn man erstmal eine Aufgabe "komplett hat"
Wenn du dann wirklich "was zum Üben haben willst", bastel dir doch einfach selber eine Funktion.
Z.b. für eine Funktion 4. Grades kannst du doch:
(x-2)(x+2)(x+1)(x+3) ausmultiplizieren.
Du kannst dir auch wieder eine Funktion mit doppelter Nullstelle bauen, indem du einfach eine Nullstelle doppelt benutzt; z.B.
(x-2)(x-2)(x+1)(x+3)
Ich find das ganz praktisch, weil du dann ja wenn du am Ende wieder die Zahlen herausbekommst, auch gleich weißt, ob es korrekt ist :)
Liebe Grüße
Marco
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Polynomdivision