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Hallo,
ich komme beim Eigenvektor ausrechnen zur Matrix
[mm] A=\pmat{ 3 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 3\\2 & 4 & 7 }
[/mm]
nicht weiter.
Das charakteristische Polynom lautet:
[mm] x^3 [/mm] - [mm] 13x^2 [/mm] + 23x - 11 = 0 (stimmt so, habe ich mit Programm überprüft).
Die Eigenwerte sind 1, 1 und 11 (stimmt ebenfalls).
Nach Programm soll sein:
Eigenvektor zu Eigenwert 1:
(-2; 1; 0)
Eigenvektor zu Eigenwert 1:
(-3; 0; 1)
Eigenvektor zu Eigenwert 11:
(2; 1; 2)
Ich komme nicht auf:
Eigenvektor zu Eigenwert 1:
(-3; 0; 1)
Meine Rechnung:
[mm] Ax=\pmat{ 3-1 & 4 & 6\\ 1 & 3-1 & 3\\2 & 4 & 7-1 }x= \pmat{ 2 & 4 & 6\\ 1 & 2 & 3\\2 & 4 & 6 }x=0
[/mm]
=>
I. [mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 4x_2+6x_3=0
[/mm]
II. [mm] 1x_1+2x_2+3x_3=0
[/mm]
III. [mm] 2x_1+4x_2+6x_3=0
[/mm]
Aus II. folgt: [mm] x_1= -2x_2 -3x_3
[/mm]
Eingesetzt in I.: [mm] 2(-2x_2-3x_3)+4x_2+3x_3 [/mm] = 0
<=> [mm] -4x_2-6x_3+4_x_2+3x_3=0
[/mm]
<=> [mm] -6x_3+3x_3=0
[/mm]
<=> [mm] x_3 [/mm] =0
=> [mm] x_1 [/mm] = [mm] -2x_2
[/mm]
=>Eigenvektor: (-2,1,0)
Nur wie komme ich jetzt auf den anderen Eigenvektor zum anderen Eigenwert 1?
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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Du hast einen Fehler in der Zeile "Eingesetzt in I.", da dürfte es nicht [mm] $3x_3$ [/mm] sondern [mm] $6x_3$ [/mm] heißen, was auf 0=0 führt 
Was dir an der Matrix zum EV 1 auffallen sollte, ist, dass zweimal die gleiche Zeile auftaucht, und die 2. Zeile gleich der halbierten ersten ist.
D.h. wenn du die das LGS $Ax=0$ mittels Subtraktion von Zeilen und einmal Multiplikation von 2 in der zweiten Zeile umformst, so erhältst du 2 Nullzeilen, also bleibt einzig noch: [mm] $x_1+2x_2+3x_3=0$ [/mm] übrig.
Damit solltest du auf die 2 unabhängigen Eigenvektoren kommen 
Gruß
Johannes
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Hi,
danke für deine Antwort.
Gibt es einen Trick, diese Gleichung auszurechnen/einzusetzen? Denn egal was ich umstelle bzw. einsetze, immer erhalte ich Gleichungen mit Ergebnis 0=0.
Liebe Grüße
sommer
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Hallo!
Du hast 3 Variablen aber nur eine Gleichung, d.h. wenn du zwei "x"e fest wählst, bekommst du eine eindeutige Lösung (3 Variablen und eine Gleichung bedeutet auch gleichzeitig, dass du in diesem Fall 2 lin. unabh. EV erhältst). Wie du vermutlich weißt, sind Eigenvektoren ja nicht eindeutig, d.h. wenn (1,0,0) z.B. ein Eigenvektor zu einem Eigenwert ist, so sind (2,0,0) und (-17,0,0) ebenfalls Eigenvektoren.
Du kannst also in diesem Fall z.B. für [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] mal beliebige Werte (Ausnahme: du wählst beide 0, dann erhältst du den Nullvektor, der nach Definition nie EV ist) einsetzen und bekommst so einen Eigenvektor. Natürlich liefern alle anderen Werte, die du einsetzen könntest, auch Eigenvektoren, aber wenn du zwei linear unabhängige gefunden hast, sind die restlichen wieder abhängig.
Schau dir mal den Fall an, dass du in der Gleichung [mm] $x_1=-2$ [/mm] und [mm] $x_2=1$ [/mm] setzt, den Rest bekommst du dann bestimmt hin
Gruß
Johannes
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Hallo,
danke für deine nochmalige Antwort.
Wir haben ja [mm] x_1+2x_2+3x_3=0.
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] x_1:=1, x_2:=1 [/mm] setze erhalte ich:
[mm] 1+2+3x_3=0
[/mm]
[mm] <=>3+3x_3=0
[/mm]
[mm] <=>3x_3= [/mm] -3
[mm] x_3= [/mm] - 1
Also (1,1,-1) ist Eigenvektor.
Setze ich [mm] x_1:=1, x_2:=0 [/mm] erhalte ich:
[mm] 1+3x_3=0
[/mm]
[mm] 3x_3= [/mm] -1
[mm] x_3= [/mm] -1/3
Also (1,0,-1/3) ist Eigenvektor.
Da auf Grund der Null im zweiten Eigenvektor beide Eigenvektoren kein vielfaches voneinander sein können, sind beide Eigenvektoren linear unabhängig. Somit habe ich zwei l.u. Eigenvektoren zu meinen beiden Eigenwerten 1 und 1 erhalten, richtig?
Liebe Grüße
sommersonne
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Ja, das sieht sehr richtig aus!
Überprüfen kannst du das ja auf mehrere Arten, z.B. könntest du testen, ob $Ax=0$ ist. Der zweite Vektor ist ja genau das [mm] $\frac{1}{3}$-fache [/mm] des vom Programm gelieferten Vektors wenn ich das richtig in Erinnerung habe. Dass die beiden unabhängig sind, stimmt auch!
Sie spannen auch wirklich den gleichen Raum auf, wie man an
[mm] $(1,1,-1)^T-3\cdot(1,0,-1/3)^T=(-2,1,0)^T$ [/mm] sieht.
Ich würde aber nicht im letzen Satz "zu den beiden Eigenwerten 1 und 1" schreiben, "zum Eigenwert 1" reicht völlig
LG
Johannes
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