Doppelter Münzwurf - Modell < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Jemand wirft zwei faire Münzen und Sie können nicht erkennen, welche Seiten der Münzen sich
oben befinden. Sie dürfen sich eine Münze aussuchen und erfahren, dass diese "Kopf" zeigt. Wie
wahrscheinlich ist es, dass auch die andere Münze "Kopf" zeigt?
Modellieren Sie dieses Experiment und begründen Sie Ihre Antwort nachvollziehbar. |
Hallo zusammen,
ich habe ein Problem mit der vorliegenden Aufgabe. Konkret ist es so, dass ich zwei verschiedene Ergebnisse herausbekomme, obwohl ich den Sachzusammenhang nicht (bewusst?) ändere.
1. Variante:
Da der Wert einer Münze bereits feststeht, argumentiere ich dass die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" in der anderen Münze [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ist, da ich genauso gut nur eine einzige Münze hätte werfen können. (Unter der Annahme, dass die Münzen sich gegenseitig nicht beeinflussen.)
2. Variante:
Betrachte [mm] $\Omega [/mm] := [mm] \{ K,Z \}^2$, [/mm] damit sei $A := [mm] \{ (K, Z), (K, K) \}$ [/mm] das Ereignis "Erste Münze zeigt Kopf" sowie analog für die zweite Münze $B := [mm] \{ (Z, K), (K, K) \}$. [/mm] Dann ist die Bedingte Wahrscheinlichkeit $P(B|A) = [mm] \frac{P(A \cap B)}{P(A)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{P(A \cap B)}{P(B)} [/mm] = P(A|B)$. Also die Wahrscheinlichkeit, dass "Kopf" für die "andere" Münze gefallen ist, falls "meine" Münze bereits "Kopf" zeigt. (Das "meine"/"andere" Münze Problem habe ich versucht zu umgehen, indem ich P(A|B) und P(B|A) ausgerechnet habe. Da sie übereinstimmen sollte es keine Rolle mehr spielen, dass ich von "erster" und "zweiter" Münze gesprochen habe.)
3. Variante:
Aufbau wie in Variante 2, aber mt den Ereignissen $A := [mm] \{ (K,Z), (Z,K), (K,K) \}$ [/mm] als "Eine Münze zeigt Kopf" sowie $B := [mm] \{ (K, K) \}$ [/mm] als "Beide Münzen zeigen Kopf". Hier ergibt sich allerdings $P(B|A) = [mm] \frac{0.25}{0.75} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}$.
[/mm]
Die Varianten 1 und 2 liefern in meinen Augen sinnvolle Werte. Aber wieso komme ich bei Variante 3 nicht auf [mm] $\frac{1}{2}$?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Jemand wirft zwei faire Münzen und Sie können nicht
> erkennen, welche Seiten der Münzen sich
> oben befinden. Sie dürfen sich eine Münze aussuchen und
> erfahren, dass diese "Kopf" zeigt. Wie
> wahrscheinlich ist es, dass auch die andere Münze "Kopf"
> zeigt?
> Modellieren Sie dieses Experiment und begründen Sie Ihre
> Antwort nachvollziehbar.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe ein Problem mit der vorliegenden Aufgabe. Konkret
> ist es so, dass ich zwei verschiedene Ergebnisse
> herausbekomme, obwohl ich den Sachzusammenhang nicht
> (bewusst?) ändere.
>
> 1. Variante:
> Da der Wert einer Münze bereits feststeht, argumentiere
> ich dass die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" in der anderen
> Münze [mm]\frac{1}{2}[/mm] ist, da ich genauso gut nur eine einzige
> Münze hätte werfen können. (Unter der Annahme, dass die
> Münzen sich gegenseitig nicht beeinflussen.)
>
> 2. Variante:
> Betrachte [mm]\Omega := \{ K,Z \}^2[/mm], damit sei [mm]A := \{ (K, Z), (K, K) \}[/mm]
> das Ereignis "Erste Münze zeigt Kopf" sowie analog für
> die zweite Münze [mm]B := \{ (Z, K), (K, K) \}[/mm]. Dann ist die
> Bedingte Wahrscheinlichkeit [mm]P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A|B)[/mm].
> Also die Wahrscheinlichkeit, dass "Kopf" für die "andere"
> Münze gefallen ist, falls "meine" Münze bereits "Kopf"
> zeigt. (Das "meine"/"andere" Münze Problem habe ich
> versucht zu umgehen, indem ich P(A|B) und P(B|A)
> ausgerechnet habe. Da sie übereinstimmen sollte es keine
> Rolle mehr spielen, dass ich von "erster" und "zweiter"
> Münze gesprochen habe.)
>
> 3. Variante:
> Aufbau wie in Variante 2, aber mt den Ereignissen [mm]A := \{ (K,Z), (Z,K), (K,K) \}[/mm]
> als "Eine Münze zeigt Kopf" sowie [mm]B := \{ (K, K) \}[/mm] als
> "Beide Münzen zeigen Kopf". Hier ergibt sich allerdings
> [mm]P(B|A) = \frac{0.25}{0.75} = \frac{1}{3}[/mm].
>
> Die Varianten 1 und 2 liefern in meinen Augen sinnvolle
> Werte. Aber wieso komme ich bei Variante 3 nicht auf
> [mm]\frac{1}{2}[/mm]?
>
Weil das Modell falsch ist. Weiter oben hast du die Einlassung Unter der Annahme, dass die Münzen sich gegenseitig nicht beeinflussen stehen und das ist nichts anderes als stochastische Unabhängigkeit. Dem ist natürlich so und das ist der Grund, weshalb Variante 2 mit der bedingten Wahrscheinlichkeit das gleiche Resultat liefert wie Variante 1: damit bedingte Wahrscheinlichkeiten P(B|A) sich von Wahrscheinlichkeiten P(B) unterscheiden, braucht es eine stochastische Abhängigkeit, denn sonst kürzt sich der Term P(A) ja wieder aus der Rechnung heraus, wie bei dir oben geschehen.
Bei all dem darf nicht vergessen werden, dass auch beide Münzen Zahl zeigen könnten. Im Sinne der Aufgabenstellung ist also Variante 2 der angedachte und richtige Weg, Variante 1 hier auch richtig (eben mit der Begründung der stochastischen Unabhängigkeit), während Variante 3 fehlerhaft ist, da ein Fall der Ergebnismenge fehlt und auch die zu Grunde gelegten Wahrscheinlichkeiten (für mich) nicht nachvollziehbar sind.
Gruß, Diophant
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