Doppelter falscher Ansatz < Fachdidaktik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Curley80 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Quadrat- und die Kubikwurzel aus 10 mit der Methode des doppelten falschen Ansatzes näherungsweise, indem Sie beide Male von zwei ganzzahligen Schätzwerten ausgehen. |
Hallo!
Ich habe bereits im Internet recherchiert, aber bin leider nicht sehr erfolgreich gewesen... Was genau bedeutet denn eigentlich die Methode des doppelten falschen Ansatzes, und wie könnte ich diese denn auf obig gestellt Aufgabe anwenden???
Ich hoffe, dass jemand von euch meinen Eintrag liest und mir weiterhelfen kann. Vielen Dank schon mal im Voraus.
Viele Grüße, Curley
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Fr 19.05.2006 | | Autor: | statler |
> Berechnen Sie die Quadrat- und die Kubikwurzel aus 10 mit
> der Methode des doppelten falschen Ansatzes näherungsweise,
> indem Sie beide Male von zwei ganzzahligen Schätzwerten
> ausgehen.
Hallo Simone!
> Ich habe bereits im Internet recherchiert, aber bin leider
> nicht sehr erfolgreich gewesen... Was genau bedeutet denn
> eigentlich die Methode des doppelten falschen Ansatzes, und
> wie könnte ich diese denn auf obig gestellt Aufgabe
> anwenden???
Damit ist ziemlich sicher die regula falsi gemeint, die besser regula falsorum hieße, weil man eben 2 Ansätze braucht. Für die Quadratwurzel nimmst du 3 und 4 als die beiden Ansätze, die zu den Quadraten 9 und 16 führen. Jetzt betrachtest du die Funktion (Kurve) y = [mm] x^{2} [/mm] - 10 und suchst die Nullstelle. Es ist y(3) = -1 und y(4) = 6, die Nullstelle liegt dazwischen. Näherungsweise liegt sie dort, wo die Gerade durch (3|-1) und (4|6) die x-Achse schneidet.
Bei der Kubikwurzel gehst du ganz entsprechend vor, aber mit anderen Zahlen.
Gruß aus HH-Harburg und ein schönes Wochenende
Dieter
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HAllo, ich hab auch die frage zu beantworten.
hab aber deine Lösung net so verstanden? wie soll ich das mit der regla falsi nährungsweise lösen.
DAnke im vorraus
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Die Regula Falsi führt durch einfache Mittel in die Nähe des exakten Ergebnisses.
[mm]x := x_1 + \bruch{f(x_0) - f(x_1)}{f(x_2) - f(x_1)} \* (x_2 - x_1)[/mm]
In unserem Beispiel wird nach demjenigen [mm]x[/mm] gesucht, dessen Quadrat (==> [mm]f(x)=x^2[/mm]) zum Ergebnis 10 führt. Da wir nicht genau wissen, welches [mm]x[/mm] dies erfüllt, schätzen wir einfach. Wir nehmen an, dass [mm] x_1 = 3 [/mm] zur Lösung führen könnte. [mm]f(x_1) = 9[/mm] ist nicht die richtige Antwort. Aber fast. Der Fehler1 ist "-1". Daher schätzen wir weiter. Wir nehmen nun an, dass [mm]x_2 = 4[/mm] die richtige Antwort ist. Leider ist [mm]f(x_2)=16[/mm] noch weiter vom Ziel entfernt, als [mm]f(x_1)[/mm]. Der Fehler2 beträgt "6". Aber das macht nichts. Wir wissen jetzt, dass die Lösung irgendwo zwischen 3 und 4 liegt. Wir wissen es sogar noch genauer, denn das richtige [mm]x[/mm] muss näher an 3, als an 4 liegen, da Fehler1 näher am Ergebnis ist, als Fehler2. Der Abstand von [mm] f(x_{1}) [/mm] zu [mm] f(x_{2}) [/mm] beträgt 7. Der Betrag des Fehler1 dividiert durch diesen Abstand ergibt [mm] \bruch{1}{7}. [/mm] Wir müssen also [mm] \bruch{1}{7} [/mm] zu [mm] x_{1} [/mm] addieren, um zum gesuchten [mm]x[/mm] zu gelangen.
Normalerweise müssten wir unser Ergebnis (also [mm] \bruch{1}{7}) [/mm] noch ins Verhältnis zum Abstand der beiden x-Werte [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] setzen (==> Multiplikation mit [mm]x_2 - x_1[/mm]), bevor wir ihn zu [mm] x_1 [/mm] addieren. Da dies in unserem Fall (und in den meisten Fällen) eine Multiplikation mit 1 bedeutet, habe ich diesen Teil ausgelassen.
Langer Rede, kurzer Sinn. Nichts anderes berechnet die "Regula falsi".
[mm]f(x_0)[/mm] ist in unserem Fall 10. Der Rest ist bereits oben erwähnt worden.
Mit eingesetzten Werten ergibt sich also:
[mm]x := 3 + \bruch{10 - 9}{16 - 9} \* (4 - 3) = 3 \bruch{1}{7}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Di 23.05.2006 | | Autor: | shamila25 |
Danke schön. hat mir echt geholfen.
danke
LG
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