Drehkegel Dreifachintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Sa 01.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll das Volumen des folgenden Drehkegels berechnen:
[mm] K={(x,y,z):x^2+y^2\le z^2 , 0 \le z \le 1}
[/mm]
Gegeben ist ebenfalls noch das Vektorfeld [mm] v=\vektor{y \\ z\\x}
[/mm]
Ich würde es nun in Polarkoor. transformieren
[mm] x=rcos\phi
[/mm]
[mm] y=sin\phi
[/mm]
z=h-r Weil ich nicht weiß wie hoch der Kegel ist oder ob die Spitze im Ursprung oder nach oben zeigt.
[mm] \integral_{0}^{h}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{1 dr d\phi dz}
[/mm]
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Hallo,
> Hallo
>
> Ich soll das Volumen des folgenden Drehkegels berechnen:
Aha! Volumen!
>
> [mm]K={(x,y,z):x^2+y^2\le z^2 , 0 \le z \le 1}[/mm]
> Gegeben ist
> ebenfalls noch das Vektorfeld [mm]v=\vektor{y \\ z\\x}[/mm]
Wenn du das Volumen berechnen willst, warum ist dann hier ein Vektorfeld noch mit gegeben?
>
> Ich würde es nun in Polarkoor. transformieren
Naja, eher Zylinderkoordinaten.
>
> [mm]x=rcos\phi[/mm]
> [mm]y=sin\phi[/mm]
Da fehlt irgendwo noch der Radius. Was hier aber noch entscheidend ist: Dein Radius r hängt von der Höhe z ab. Das solltest du beachten. Eigentlich hast du:
[mm] x=r(z)\cos\phi
[/mm]
[mm] y=r(z)\sin\phi
[/mm]
> z=h-r Weil ich nicht weiß wie hoch der Kegel ist oder ob
> die Spitze im Ursprung oder nach oben zeigt.
Doch, das weißt du. Denn schließlich ist doch die Menge K eindeutig gegeben. Bei z=1 kann der Radius nur Null sein. Die Spitze ist also der Punkt (0,0,1)
>
> [mm]\integral_{0}^{h}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{1 dr d\phi dz}[/mm]
>
>
Was ist eigentlich die Frage?!
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> Hallo
>
> Ich soll das Volumen des folgenden Drehkegels berechnen:
>
> [mm]K={(x,y,z):x^2+y^2\le z^2 , 0 \le z \le 1}[/mm]
> Gegeben ist
> ebenfalls noch das Vektorfeld [mm]v=\vektor{y \\ z\\x}[/mm]
>
> Ich würde es nun in Polarkoor. transformieren
>
> [mm]x=rcos\phi[/mm]
> [mm]y=sin\phi[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
siehe Bemerkung von Richie1401 !
> z=h-r Weil ich nicht weiß wie hoch der Kegel ist oder ob
> die Spitze im Ursprung oder nach oben zeigt.
>
> [mm]\integral_{0}^{h}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{1 dr d\phi dz}[/mm]
>
Hallo racy90,
Falls nur das Volumen berechnet werden soll (??) :
muss denn das wirklich als Dreifachintegral berechnet werden ?
Das ginge z.B. auch mit einem einfachen Integral !
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Sa 01.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Okay also lautet meine Parametrisierung
[mm] x=\vektor{r*cos \phi \\ r*sin \phi \\ 1-r} [/mm]
Mein Volumenintegral sollte dann also so aussehen oder?
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2 \pi}\integral_{0}^{1}{1 dr d \phi dz}
[/mm]
Das a Vektorfeld am Anfang ist glaube ich für die Zusatzaufgabe gegeben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Somit müsste das Integral mit der richtigen oberen Grenze doch so aussehen oder?
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2 \pi}\integral_{0}^{1-z}{r dr d \phi dz} [/mm]
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> Somit müsste das Integral mit der richtigen oberen Grenze
> doch so aussehen oder?
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2 \pi}\integral_{0}^{1-z}{r dr d \phi dz}[/mm]
Genau. So sollte es passen. Den richtigen Wert des
Integrals kannst du ja dann leicht mit der Volumen-
formel für den Kegel überprüfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Wenn ich mir nun das Vektorfeld vom Anfang herhole
[mm] v=\vektor{y \\ z \\ x}
[/mm]
und das Oberflächenintegral [mm] \integral_{}^{}\integral_{F}^{}{v dO} [/mm] berechnen möchte,wobei F die Mantelfläche des Kegels K bezeichnet.
Ich hätte so begonnen das ich für die Mantelfläche eine Parametrisierung gesucht hätte
[mm] x=\vektor{(1-z)cos \phi \\ (1-z)sin \phi \\ z} [/mm] 0 [mm] \le \phi \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1
Danach hätte ich den Normalvekor N = dz x d [mm] \phi [/mm] gebildet
Also so :
[mm] \vektor{-cos \phi \\ -sin \phi \\ 1} [/mm] x [mm] \vektor{(z-1)sin \phi \\ (1-z)cos \phi \\ 0} =\vektor{cos \phi (z-1) \\ sin \phi (z-1) \\ z-1}
[/mm]
Nun hätte ich noch die Parametrisierung in v eingesetzt und das ins Integral gesetzt [mm] \vektor{(1-z)sin \phi \\ z \\ (1-z)cos \phi}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2 \pi}{ \vektor{(1-z)sin \phi \\ z \\ (1-z)cos \phi} \vektor{cos \phi (z-1) \\ sin \phi (z-1) \\ z-1} d \phi dz}
[/mm]
Stimmt bis jetzt meine Vorgehensweise??
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> Wenn ich mir nun das Vektorfeld vom Anfang herhole
>
> [mm]v=\vektor{y \\ z \\ x}[/mm]
>
> und das Oberflächenintegral
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{F}^{}{v dO}[/mm] berechnen
> möchte,wobei F die Mantelfläche des Kegels K bezeichnet.
>
> Ich hätte so begonnen das ich für die Mantelfläche eine
> Parametrisierung gesucht hätte
> [mm]x=\vektor{(1-z)cos \phi \\ (1-z)sin \phi \\ z}[/mm] 0 [mm]\le \phi \le[/mm]
> 2 [mm]\pi[/mm] und 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] 1
>
> Danach hätte ich den Normalvekor N = dz x d [mm]\phi[/mm] gebildet
>
> Also so :
>
> [mm]\vektor{-cos \phi \\ -sin \phi \\ 1}[/mm] x [mm]\vektor{(z-1)sin \phi \\ (1-z)cos \phi \\ 0} =\vektor{cos \phi (z-1) \\ sin \phi (z-1) \\ z-1}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
>
> Nun hätte ich noch die Parametrisierung in v eingesetzt
> und das ins Integral gesetzt [mm]\vektor{(1-z)sin \phi \\ z \\ (1-z)cos \phi}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2 \pi}{ \vektor{(1-z)sin \phi \\ z \\ (1-z)cos \phi} \vektor{cos \phi (z-1) \\ sin \phi (z-1) \\ z-1} d \phi dz}[/mm]
>
> Stimmt bis jetzt meine Vorgehensweise??
Hallo racy90,
ich habe jetzt (noch) nicht alles geprüft, möchte aber
eine Bemerkung zu den Bezeichnungsweisen loswerden.
x verwendest du einerseits für einen Vektor, der die
3 Komponenten x, y und z hat, welche dann auch in
der Darstellung des Feldvektors v wieder auftreten.
Das kann so eigentlich nicht gut gehen !
z verwendest du einerseits als dritte Komponente
im Vektor x und dann zweitens auch noch als Parameter
in der Parameterdarstellung der Mantelfläche.
Obwohl die z-Werte in diesen beiden Rollen dann
übereinstimmen, halte ich dieses Vorgehen eher
für ungeschickt. Das Alphabet hat genügend Buchstaben,
um eindeutige und unverwechselbare Bezeichnungen
einzuführen !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mo 03.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Okay werde ich das nächste Mal berücksichtigen aber prinzipiell die Vorgehensweise ist richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 03.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
sowohl deine Fläche wie dein Normalenvektor sind falsch.
1. es sollte dir klar sein, dass der Normaleneinheitsvektor auf einen Kegel für festes x,y unabhängig von z ist., mach etwa ne Zeichnung für den schniit mit der ebene y=0
2. deine Fläche hat bei z=0 den Radius 1?
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 03.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Ja wieso sollte bei z=0 der Radius nicht 1 sein.Da befinde ich mich ja unten auf der Grundfläche des Kegels?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Di 04.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei z=0 ist der Kegel doch [mm] x^2+y^2=0 [/mm] also x=y=0
bei z=1 ist der Radius 1
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 04.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Also nochmal
Ich bilde mir eine Kegelparametrisierung
r= [mm] \vektor{rcos( \phi) \\ rsin( \phi) \\ 1-r} [/mm] 0 [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1
t1= [mm] \partial [/mm] r / [mm] \partial [/mm] r = [mm] \vektor{cos(\phi) \\ sin( \phi) \\ -1}
[/mm]
[mm] t2=\partial [/mm] r / [mm] \partial \phi =\vektor{-rsin(\phi) \\ rcos (\phi) \\ 0}
[/mm]
[mm] n=t1xt2=\vektor{rcos( \phi) \\ rsin( \phi) \\ r}
[/mm]
Mein r nun in das Vektorfeld eingesetzt ergibt mir :
[mm] \vektor{rsin( \phi) \\ 1-r \\ rcos( \phi)}
[/mm]
Das alles nun unter das Integral
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2 \pi}{
\vektor{rsin( \phi) \\ 1-r \\ rcos( \phi)} \vektor{rcos( \phi) \\ rsin( \phi) \\ r}d\phi dr}
[/mm]
Ich hoffe das stimmt nun
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Di 04.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
der gegebene Kegel hat die Spitze in 0 deiner bei z=1 dein Kegel ist doch durch [mm] x^2+y^2=z^2 [/mm] gegeben, nicht für [mm] x^2+y^2=(1-z)^2
[/mm]
du wurdest gebeten nicht gleiche Buchstaben hier r für 2 verschiedene Objekte zu verwenden, hier r wegen z=r wäre hier z besser gewesen
n sollte der Einheitsnormalenvektor sein, da du aber nur über [mm] dr*d\phi [/mm] statt über [mm] r*d\phi*dr [/mm] integrierst ist es für deinen Kegel wieder richtig.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Also jetzt versteh ichs einfach nicht mehr?
1-r für z ist doch richtig. Wenn r=1-->1-1=0=z und [mm] rcos(\phi) [/mm] und [mm] rsin(\phi) [/mm] ergeben mir einen Kreis am Boden. Wenn r=0--> z=1 und die anderen 2 Terme werden 0 = Spitze des Kegels.
Weil wenn ich statt 1-r nur r hinschreibe ist der Mantel doch gerade und nicht geneigt wie beim Kegel.
s= $ [mm] \vektor{rcos( \phi) \\ rsin( \phi) \\ r)} [/mm] $ 0 $ [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm] $ und 0 $ [mm] \le [/mm] $ r $ [mm] \le [/mm] $ 1
Eine andere Möglichkeit die mir jetzt noch einfällt
s= $ [mm] \vektor{rcos( \phi) \\ rsin( \phi) \\ z(1-r)} [/mm] $ 0 $ [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm] $ und 0 $ [mm] \le [/mm] $ r $ [mm] \le [/mm] $ 1
Ich bilde mir eine Kegelparametrisierung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mi 05.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich versuche mal, das zu verstehen.
> Ich bilde mir eine Kegelparametrisierung
[mm] $\vec{s}(r,\phi) [/mm] = [mm] \vektor{r \cos( \phi) \\ r\sin( \phi) \\ 1-r} [/mm] $ für alle $0 [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm] $ und $0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1$
Das "für alle" wird erfüllt, indem für jedes r einmal alle Werte von [mm] $\phi$ [/mm] durchlaufen werden. Es wird also ein Kreis mit dem Radius r geschlagen.
Für $r = 0$ hat der Kreis den Radius 0. Damit [mm] $\vec{s}(0,\phi)= \vektor{0 \\ 0 \\ 1-0} [/mm] $
Das ist ein Punkt in der Höhe 1 über dem Ursprung.
Für $r = 1$ hat der Kreis den Radius 1. Damit [mm] $\vec{s}(0,\phi)= \vektor{\cos( \phi) \\ \sin( \phi) \\ 1-1} [/mm] $
Das ist ein Kreis mit dem Radius 1 in der Höhe 0.
Wenn der Kegel auf seiner Spitze im Ursprung stehen soll, dann tut er das so nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Der Kegel ist so gegeben: [mm] K={(x,y,z):x^2+y^2\le z^2 , 0 \le z \le 1}
[/mm]
Also mit Spitze in 1 und nicht im Ursprung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mi 05.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> Der Kegel ist so gegeben: [mm]K={(x,y,z):x^2+y^2\le z^2 , 0 \le z \le 1}[/mm]
>
> Also mit Spitze in 1 und nicht im Ursprung
Wenn z = 0, dann kann [mm] $x^2+y^2$ [/mm] nur null werden, wenn x und y beide 0 sind. Das ist ein Punkt.
Wenn z = 1, dann kann [mm] $x^2+y^2$ [/mm] zusammen 1 werden. Das ist ein Kreis mit Radius 1 in der Höhe 1.
So einen Kreis kann ich nicht als Spitze anerkennen. Einen einzelnen Punkt hingegen schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Wie sieht dann bitte die Parametrisierung aus? Ich bitte um Aufklärung.
Wenn ich es so parametrisiere kann es doch nicht stimmen oder
[mm] \vektor{rcos(\phi) \\ rsin(\phi) \\ r}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Mi 05.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Überprüfe es. Ich habe Dir ein Muster hingeschrieben. Nimm r = 0. Was passiert dann? Nimm r = 1. Was passiert dann?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Okay also für r=0
[mm] \vektor{0*cos(\phi) \\ 0*sin(\phi) \\ 0} [/mm] = Ursprung
r=1
[mm] \vektor{1*cos(\phi) \\ 1*sin(\phi) \\ 1} [/mm] = Kreis mit Radius 1 in Z=1
Kann also nicht sein
[mm] \vektor{r*cos(\phi) \\ r*sin(\phi) \\ r-1} [/mm] Hier passt es doch,ich versteh das nicht ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mi 05.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> Kann also nicht sein
>
Wieso denn nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Naja wie ich schon beschrieben habe dann habe ich bei r=1
Einen Kreis mit Radius 1 in der Höhe 1 .Aber nach der Angabe zu Folge habe ich doch einen Kegel mit Spitze in 1 --> Ein punkt bei (0/0/1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 05.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> Naja wie ich schon beschrieben habe dann habe ich bei r=1
>
> Einen Kreis mit Radius 1 in der Höhe 1 .Aber nach der
> Angabe zu Folge habe ich doch einen Kegel mit Spitze in 1
> --> Ein punkt bei (0/0/1)
Ich wiederhole meine Antwort: Du hast die originale Beschreibung des Kegels nicht verstanden:
> Der Kegel ist so gegeben: $ [mm] K={(x,y,z):x^2+y^2\le z^2 , 0 \le z \le 1} [/mm] $
>
> Also mit Spitze in 1 und nicht im Ursprung
Wenn z = 0, dann kann $ [mm] x^2+y^2 [/mm] $ nur null werden, wenn x und y beide 0 sind. Das ist ein Punkt.
Wenn z = 1, dann kann $ [mm] x^2+y^2 [/mm] $ zusammen 1 werden. Das ist ein Kreis mit Radius 1 in der Höhe 1.
So einen Kreis kann ich nicht als Spitze anerkennen. Einen einzelnen Punkt hingegen schon.
Ich werde erst wieder antworten, wenn Du Dich mit dieser wiederholten Antwort auseinandersetzt.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:50 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Oh okay
Also steht mein Kegel mit Spitze im Ursprung!
[mm] s=\vektor{rcos(\phi) \\ rsin(\phi) \\ r}
[/mm]
[mm] t1=\partial s/\partial [/mm] r [mm] =\vektor{cos(\phi) \\ sin(\phi) \\ 1}
[/mm]
[mm] t2=\partial s/\partial [/mm] r [mm] =\vektor{-rsin(\phi) \\ rcos(\phi) \\ 0}
[/mm]
Dann noch n=t1xt2
s einsetzen ins Vektorfeld ergibt [mm] \vektor{rsin(\phi) \\ r\\ rcos(\phi)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{\vektor{rsin(\phi) \\ r\\ rcos(\phi)}*n d\phi dr}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mi 05.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Endlich. Ich bin nun offline, daher kann ich nicht mehr antworten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Danke für die Geduld!
Ganz zum Schluss müsste das Ergebnis vom Integral dann 0 sein oder?
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> Danke für die Geduld!
>
> Ganz zum Schluss müsste das Ergebnis vom Integral dann 0
> sein oder?
Bisher hast du, wie ich sehe, als Oberflächenintegral nur
das über die Mantelfläche des Kegels betrachtet. Die
Rechnung habe ich nicht überprüft. Aber: Zur Oberfläche
des Kegels gehört auch noch dessen "Grundfläche",
nämlich die Kreisscheibe vom Radius 1 in der Ebene
z=1 und mit Mittelpunkt (0/0/1) !
Das gesamte Integral ergibt dann tatsächlich den
Wert 0 , aber du hast das wohl noch nicht nachgewiesen.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Mi 05.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Ich weiß aber in der Prüfung stand nur explizit die Mantelfläche.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 07.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Funktionaldeterminante