Drehmatrix ausrechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Do 11.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | Gegeben: eine [mm] 2\times2 [/mm] Matrix [mm] A=\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
Finden Sie eine Drehmatrix [mm] U_\phi [/mm] mit [mm] B=U_{-\phi}AU_\phi=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu } [/mm] |
Hallo,
ich bin mir bei der Aufgabe nicht ganz sicher was ich überhaupt machen soll. So wie ich das verstehe soll ich eine Drehmatrix finden dessen Inverse [mm] U_{-\phi} [/mm] multipliziert mit der Matrix A und dann multipliziert mit [mm] U_{\phi} [/mm] gleich [mm] \pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu } [/mm] ist?
Im Skript ist für Rotationen in der Ebene die Standardmatrix [mm] R_\phi=\pmat{ \cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi } [/mm] angegeben.
Ich kann mir vorstellen wie ich einen Vektor in der Ebene um einen Winkel [mm] \phi [/mm] drehe aber was bedeutet es eine Matrix zu drehen?
Wäre super wenn mir das jemand erklären könnte.
Vielen Dank im Voraus
Rzeta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Do 11.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben: eine [mm]2\times2[/mm] Matrix [mm]A=\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> Finden Sie eine Drehmatrix [mm]U_\phi[/mm] mit
> [mm]B=U_{-\phi}AU_\phi=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu }[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin mir bei der Aufgabe nicht ganz sicher was ich
> überhaupt machen soll. So wie ich das verstehe soll ich
> eine Drehmatrix finden dessen Inverse [mm]U_{-\phi}[/mm]
> multipliziert mit der Matrix A und dann multipliziert mit
> [mm]U_{\phi}[/mm] gleich [mm]\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu }[/mm] ist?
>
> Im Skript ist für Rotationen in der Ebene die
> Standardmatrix [mm]R_\phi=\pmat{ \cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi }[/mm]
> angegeben.
>
> Ich kann mir vorstellen wie ich einen Vektor in der Ebene
> um einen Winkel [mm]\phi[/mm] drehe aber was bedeutet es eine Matrix
> zu drehen?
>
> Wäre super wenn mir das jemand erklären könnte.
Mach Dir klar, dass [mm] R_{\phi} [/mm] invertierbar ist und dass [mm] R_{-\phi}=R_{\phi}^{-1} [/mm] ist.
Damit haben [mm] R_{-\phi}AR_\phi [/mm] und A die gleichen Eigenwerte (Ähnlichkeit !).
Was sind die Eigenwerte von A ? Und wie fallen dann [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] aus ?
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Rzeta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Do 11.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke,
eine Matrix ist invertierbar wenn ihre Determinante [mm] \not=0.
[/mm]
$ [mm] R_\phi=\pmat{ \cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi } [/mm] $
[mm] Det(R_\phi)=|R_\phi|=\vmat{ cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi }=cos\phi\cdot\cos\phi-(-sin\phi)\cdot\sin\phi=cos^2\phi+sin^2\phi=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow R_\phi [/mm] ist invertierbar.
Ich weiß ausserdem das [mm] AA^{-1}=E [/mm] (Einheitsmatrix)
Durch nachrechnen: [mm] U_{\phi}U_{-\phi}=E=U_{-\phi}U_\phi \Rightarrow U_\phi^{-1}=U_{-\phi}
[/mm]
Eigenwert höre ich zum ersten mal. Haben wir auch noch nicht in der Vorlesung gemacht.
Gruß
Rzeta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 11.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine matrix vermittelt eine lineare Abbildung, eine lineare Abbildung ist dein R, eine andere ist A, wenn du mit reellen Zahlen rechnest und eine funktion auf eine andere anwendest, fragst du auch nicht wie du dir das "vorstellen? sollst. aber z,B erst eine Drehung, dann eine Dehnung, dann wieder ein Rückwärtsdrehung kannst du dir vorstellen AR*x macht so was ähnliches. nun sollst du dein R soe w#hlen dass das ergebnis eine Dehnung ist, mit [mm] \lambda [/mm] in x. Richtun, mit [mm] \mu [/mm] in y Richtung.
und du kannst das einfach ausrechnen, indem du eben [mm] R_{-˜phi}*A*R\-{\phi} [/mm] ausrechnest.
natürlich kannst du dir bei Matrix drehen! auch vorstellen die Zeilen bzw Spaltenvektoren zu drehen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Do 11.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke! Ich habe mal einen Versuch gestartet. Ich habe ja meine standard Drehmatrix [mm] R_\phi=\pmat{ cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi }
[/mm]
die Inverse Matrix davon [mm] R_{-\phi}=\pmat{ cos\phi & sin\phi \\ -sin\phi & cos\phi } [/mm] und die Matrix [mm] A=\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 1 }.
[/mm]
Ich soll einen Eine Drehmatrix [mm] U_\phi [/mm] bzw einen Drehwinkel [mm] \phi [/mm] finden sodass gilt:
[mm] B=U_{-\phi}AU_\phi=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu }
[/mm]
Ich habe jetzt einfach mal [mm] U_\phi=R_\phi [/mm] eingesetz und dann ausmultipliziert:
[mm] B=\pmat{ cos\phi & sin\phi \\ -sin\phi & cos\phi }\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 1 }\pmat{ cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi }=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu }
[/mm]
[mm] \gdw B=\pmat{ 3cos\phi-sin\phi & -cos\phi+sin\phi \\ -3sin\phi-cos\phi & sin\phi+cos\phi}\pmat{ cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi }=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu }
[/mm]
[mm] \gdw B=\pmat{ 3cos^2\phi-2sin\phicos\phi+sin^2\phi & sin^2\phi-2sin\phicos\phi-cos^2\phi \\ sin^2\phi-2sin\phicos\phi-cos^2\phi & 3sin^2\phi+2sin\phicos\phi-cos^2\phi }=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu }
[/mm]
[mm] \Rightarrow 3cos^2\phi-2sin\phicos\phi+sin^2\phi=\lambda
[/mm]
[mm] sin^2\phi-2sin\phicos\phi-cos^2\phi=0
[/mm]
[mm] sin^2\phi-2sin\phicos\phi-cos^2\phi=0
[/mm]
[mm] 3sin^2\phi+2sin\phicos\phi-cos^2\phi=\mu
[/mm]
[mm] sin^2\phi-2sin\phicos\phi-cos^2\phi=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi=\bruch{\pi\cdot n}{2}-\bruch{\pi}{8}; n\in \IZ
[/mm]
Da ich ja nur eine Lösung brauche kann ich n=1 nehmen.
[mm] \Rightarrow \phi=\bruch{3\pi}{8}
[/mm]
Jetzt kann ich mein [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] ausrechnen
[mm] \Rightarrow 3cos^2(\bruch{3\pi}{8})-2sin(\bruch{3\pi}{8})cos(\bruch{3\pi}{8})+sin^2(\bruch{3\pi}{8})=\lambda
[/mm]
[mm] 3sin^2(\bruch{3\pi}{8})+2sin(\bruch{3\pi}{8})cos(\bruch{3\pi}{8})-cos^2(\bruch{3\pi}{8})=\mu
[/mm]
Totaler Blödsinn oder richtig?
Gruß
Rzeta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Do 11.12.2014 | | Autor: | Fulla |
> Danke! Ich habe mal einen Versuch gestartet. Ich habe ja
> meine standard Drehmatrix [mm]R_\phi=\pmat{ cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi }[/mm]
>
> die Inverse Matrix davon [mm]R_{-\phi}=\pmat{ cos\phi & sin\phi \\ -sin\phi & cos\phi }[/mm]
> und die Matrix [mm]A=\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 1 }.[/mm]
>
> Ich soll einen Eine Drehmatrix [mm]U_\phi[/mm] bzw einen Drehwinkel
> [mm]\phi[/mm] finden sodass gilt:
>
> [mm]B=U_{-\phi}AU_\phi=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu }[/mm]
>
> Ich habe jetzt einfach mal [mm]U_\phi=R_\phi[/mm] eingesetz und dann
> ausmultipliziert:
>
> [mm]B=\pmat{ cos\phi & sin\phi \\ -sin\phi & cos\phi }\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 1 }\pmat{ cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi }=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu }[/mm]
>
> [mm]\gdw B=\pmat{ 3cos\phi-sin\phi & -cos\phi+sin\phi \\ -3sin\phi-cos\phi & sin\phi+cos\phi}\pmat{ cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi }=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu }[/mm]
>
> [mm]\gdw B=\pmat{ 3cos^2\phi-2sin\phi\cos\phi+sin^2\phi & sin^2\phi-2sin\phi\cos\phi-cos^2\phi \\ sin^2\phi-2sin\phi\cos\phi-cos^2\phi & 3sin^2\phi+2sin\phi\cos\phi-cos^2\phi }=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \mu }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 3cos^2\phi-2sin\phi\cos\phi+sin^2\phi=\lambda[/mm]
>
> [mm]sin^2\phi-2sin\phi\cos\phi-cos^2\phi=0[/mm]
> [mm]sin^2\phi-2sin\phi\cos\phi-cos^2\phi=0[/mm]
> [mm]3sin^2\phi+2sin\phi\cos\phi-cos^2\phi=\mu[/mm]
>
> [mm]sin^2\phi-2sin\phi\cos\phi-cos^2\phi=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi=\bruch{\pi\cdot n}{2}-\bruch{\pi}{8}; n\in \IZ[/mm]
Hallo Rzeta,
du hast in den Formeln ein paar [mm] "\" [/mm] vergessen, so dass die Terme nicht nichtig angezeigt wurden - ich hab das hier im Zitat verbessert.
Du hast aber richtig gerechnet. Vom bloßen Anschauen der vorletzten Gleichung "sehe" ich nicht, wie du auf dein [mm]\phi[/mm] kommst. Das Ergebnis ist schon richtig, aber ein Zwischenschritt mehr schadet hier nicht...
> Da ich ja nur eine Lösung brauche kann ich n=1 nehmen.
>
> [mm]\Rightarrow \phi=\bruch{3\pi}{8}[/mm]
Ja.
> Jetzt kann ich mein [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] ausrechnen
>
> [mm]\Rightarrow 3cos^2(\bruch{3\pi}{8})-2sin(\bruch{3\pi}{8})cos(\bruch{3\pi}{8})+sin^2(\bruch{3\pi}{8})=\lambda[/mm]
>
> [mm]3sin^2(\bruch{3\pi}{8})+2sin(\bruch{3\pi}{8})cos(\bruch{3\pi}{8})-cos^2(\bruch{3\pi}{8})=\mu[/mm]
>
> Totaler Blödsinn oder richtig?
Richtig. Das kannst du aber noch weiter ausrechnen/zusammenfassen. Beachte dazu [mm]\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\varphi}{2}}[/mm], [mm]\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}[/mm] und [mm]\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt 2}{2}[/mm], [mm]\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt 2}{2}[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Do 11.12.2014 | | Autor: | Rzeta |
Hallo Fulla,
vielen Dank für deine Antwort. Ich bin echt froh das ich einmal etwas beim ersten mal richtig gerechnet habe! Die Gleichung $ [mm] sin^2\phi-2sin\phi\cos\phi-cos^2\phi=0 [/mm] $ habe ich einfach in Mathematica eingegeben und gelöst deshalb habe ich da auch keine Zwischenschritte angegeben. Das was du unten geschrieben hast ist super! Damit lässt sich das alles viel besser vereinfachen. Danke!
Liebe Grüße
Rzeta
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Do 11.12.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> Gleichung [mm]sin^2\phi-2sin\phi\cos\phi-cos^2\phi=0[/mm] habe ich
> einfach in Mathematica eingegeben und gelöst deshalb habe
> ich da auch keine Zwischenschritte angegeben.
In einer Klausur kannst du das aber nicht machen....
So schwer ist es aber auch gar nicht. Es ist [mm]\cos^2\varphi-\sin^2\varphi=\cos(2\varphi)[/mm] und [mm]2\sin\varphi\cos\varphi=\sin(2\varphi)[/mm]
> Das was du unten geschrieben hast ist super! Damit lässt sich das
> alles viel besser vereinfachen. Danke!
Gerne!
Lieben Gruß,
Fulla
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