Drehmatrix zu Dreh-Achse/Winke < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mi 30.12.2015 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | | Betrachte Drehung im [mm] \IR^3 [/mm] mit Drehwinkel 90° und Drehachse [mm] \IR \cdot \vektor{1\\ 1 \\ 0} [/mm] und geben Sie Matrixdarstellung bezüglich der kanonischen Basis des [mm] \IR^3 [/mm] an. |
1. Schritt:
Ich bilde eine ONB, wobei ich den Vektor der Drehachse gleich benutze:
[mm] b_1=\bruch{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] b_2, b_3 [/mm] dazu suchen:
[mm] b_2=\vektor{0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] b_3=\bruch{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\- 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] B=(b_1,b_2,b_3)
[/mm]
2. Schritt:
Da [mm] b_1 [/mm] Element der Drehachse, wirkt die Drehung lediglich auf [mm] b_2,b_3. [/mm] Diese sind orthogonal und man kann daher eine Drehung im [mm] \IR^2, [/mm] also in der Ebene, für die beiden betrachten:
[mm] D=\pmat{ cos(90°) & -sin(90°) \\ sin(90°) & cos(90°) } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
1. Punkt den ich nicht verstehe:
In der Lösung folgt nun, dass die Drehmatrix M ist:
M= [mm] \pmat{ 0 & -1 &0 \\ 1 & 0 &0\\0&0&1}
[/mm]
Das wäre eine Drehung um die Z-Achse bei kanonischer Basis. Liegt das daran, dass [mm] b_1 [/mm] der orthogonale Vektor auf die [mm] b_2,b_3-Ebene [/mm] ist?
2. Punkt den ich nicht verstehe:
Anschließend wird die gesuchte Drehmatrix A über [mm] A=BMB^T [/mm] berechnet.
Wie kommt das?
Das leitet sich wohl aus M=B^TAB ab. Aber es ist mir völlig unklar, was diese Matrixmultiplikation bewirkt, bzw. wieso [mm] M=B^{T}AB [/mm] ist.
Es wäre schön wenn mir das jemand näherbringen könnte... Vielen lieben Dank im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mi 30.12.2015 | | Autor: | chrisno |
> Betrachte Drehung im [mm]\IR^3[/mm] mit Drehwinkel 90° und
> Drehachse [mm]\IR \cdot \vektor{1\\ 1 \\ 0}[/mm] und geben Sie
> Matrixdarstellung bezüglich der kanonischen Basis des
> [mm]\IR^3[/mm] an.
> 1. Schritt:
> Ich bilde eine ONB, wobei ich den Vektor der Drehachse
> gleich benutze:
> [mm]b_1=\bruch{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\ 1 \\ 0}[/mm]
> [mm]b_2, b_3[/mm] dazu
> suchen:
> [mm]b_2=\vektor{0\\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]b_3=\bruch{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\- 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]B=(b_1,b_2,b_3)[/mm]
>
> 2. Schritt:
> Da [mm]b_1[/mm] Element der Drehachse, wirkt die Drehung lediglich
> auf [mm]b_2,b_3.[/mm] Diese sind orthogonal und man kann daher eine
> Drehung im [mm]\IR^2,[/mm] also in der Ebene, für die beiden
> betrachten:
> [mm]D=\pmat{ cos(90°) & -sin(90°) \\ sin(90°) & cos(90°) }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> 1. Punkt den ich nicht
> verstehe:
> In der Lösung folgt nun, dass die Drehmatrix M ist:
> M= [mm]\pmat{ 0 & -1 &0 \\ 1 & 0 &0\\0&0&1}[/mm]
> Das wäre eine
> Drehung um die Z-Achse bei kanonischer Basis. Liegt das
> daran, dass [mm]b_1[/mm] der orthogonale Vektor auf die
> [mm]b_2,b_3-Ebene[/mm] ist?
Das ist die Drehmatrix dargestellt im System mit [mm] $b_1$, $b_2$, $b_3$.
[/mm]
>
> 2. Punkt den ich nicht verstehe:
> Anschließend wird die gesuchte Drehmatrix A über [mm]A=BMB^T[/mm]
> berechnet.
> Wie kommt das?
> Das leitet sich wohl aus M=B^TAB ab. Aber es ist mir
> völlig unklar, was diese Matrixmultiplikation bewirkt,
> bzw. wieso [mm]M=B^{T}AB[/mm] ist.
Gesucht ist die Drehmatrix im System (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
Der Wechsel der Darstellung von [mm] $b_1$, $b_2$, $b_3$ [/mm] nach (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) erfolgt mit der angegebenen Multiplikation.
>
> Es wäre schön wenn mir das jemand näherbringen
> könnte... Vielen lieben Dank im Vorraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 30.12.2015 | | Autor: | SoWhat |
> > Betrachte Drehung im [mm]\IR^3[/mm] mit Drehwinkel 90° und
> > Drehachse [mm]\IR \cdot \vektor{1\\ 1 \\ 0}[/mm] und geben Sie
> > Matrixdarstellung bezüglich der kanonischen Basis des
> > [mm]\IR^3[/mm] an.
> > 1. Schritt:
> > Ich bilde eine ONB, wobei ich den Vektor der Drehachse
> > gleich benutze:
> > [mm]b_1=\bruch{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\ 1 \\ 0}[/mm]
> > [mm]b_2, b_3[/mm]
> dazu
> > suchen:
> > [mm]b_2=\vektor{0\\ 0 \\ 1}[/mm]
> >
> > [mm]b_3=\bruch{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\- 1 \\ 0}[/mm]
> >
> > [mm]B=(b_1,b_2,b_3)[/mm]
> >
> > 2. Schritt:
> > Da [mm]b_1[/mm] Element der Drehachse, wirkt die Drehung
> lediglich
> > auf [mm]b_2,b_3.[/mm] Diese sind orthogonal und man kann daher eine
> > Drehung im [mm]\IR^2,[/mm] also in der Ebene, für die beiden
> > betrachten:
> > [mm]D=\pmat{ cos(90°) & -sin(90°) \\ sin(90°) & cos(90°) }[/mm]
> > = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> > 1. Punkt den ich nicht
> > verstehe:
> > In der Lösung folgt nun, dass die Drehmatrix M ist:
> > M= [mm]\pmat{ 0 & -1 &0 \\ 1 & 0 &0\\0&0&1}[/mm]
> > Das wäre
> eine
> > Drehung um die Z-Achse bei kanonischer Basis. Liegt das
> > daran, dass [mm]b_1[/mm] der orthogonale Vektor auf die
> > [mm]b_2,b_3-Ebene[/mm] ist?
> Das ist die Drehmatrix dargestellt im System mit [mm]b_1[/mm], [mm]b_2[/mm],
> [mm]b_3[/mm].
Ja, dass das die Drehmatrix sein muss, ist doch klar. Die Frage ist ja, warum gerade diese Matrix mit [mm] m_{3,3}=1.
[/mm]
Es gäbe doch auch die Möglichkeiten:
[mm]\pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0 & cos(90°) & -sin(90°) \\ 0 & sin(90°) & cos(90°)}[/mm]
oder
[mm]\pmat{cos(90°) & 0 & sin(90°) \\0 & 1 &0 \\ -sin(90°) &0 & cos(90°)}[/mm]
Das wären alles Drehmatrizen in dieser Basis, oder nicht?
>
> >
> > 2. Punkt den ich nicht verstehe:
> > Anschließend wird die gesuchte Drehmatrix A über
> [mm]A=BMB^T[/mm]
> > berechnet.
> > Wie kommt das?
> > Das leitet sich wohl aus M=B^TAB ab. Aber es ist mir
> > völlig unklar, was diese Matrixmultiplikation bewirkt,
> > bzw. wieso [mm]M=B^{T}AB[/mm] ist.
> Gesucht ist die Drehmatrix im System (1,0,0), (0,1,0),
> (0,0,1)
> Der Wechsel der Darstellung von [mm]b_1[/mm], [mm]b_2[/mm], [mm]b_3[/mm] nach
> (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) erfolgt mit der angegebenen
> Multiplikation.
>
Nachdem es so in der Lösung steht, kann man davon ausgehen, dass es so ist, ja. Aber welcher Weg wird gegangen?
B ist Orthonormalbasis.
M ist Spiegelmatrix in der Orthonormalbasis.
A ist gesuchte Spiegelmatrix in kanonischer Basis.
--> Wenn M=B^TAB, dann müsste das ja heißen, dass B eine Abbildung von der B-Basis in die kanonische Basis ist. Dann würde das auch Sinn ergeben und ich könnte mir diesen Punkt erklären. (Ich hatte jetzt bei B^TAB Diagonalisierung im Kopf, das trifft hier wohl nicht zu...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mi 30.12.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich muss mich mal wieder für ungenaues Lesen entschuldigen. Deine M und die M der Lösung müssen verscheiden sein, da in der Lösung eine andere Basis gewählt wurde. Du hast [mm] $b_1$ [/mm] als Drehachsenvektor gewählt, daher
> Es gäbe doch auch die Möglichkeiten:
> $ [mm] \pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0 & cos(90°) & -sin(90°) \\ 0 & sin(90°) & cos(90°)} [/mm] $
ist das Deine Drehmatrix im b-Koordinatensystem.
Punkt 2 hast Du selbst geklärt, oder verstehe ich das falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mi 30.12.2015 | | Autor: | SoWhat |
> Ich muss mich mal wieder für ungenaues Lesen
> entschuldigen. Deine M und die M der Lösung müssen
> verscheiden sein, da in der Lösung eine andere Basis
> gewählt wurde. Du hast [mm]b_1[/mm] als Drehachsenvektor gewählt,
> daher
> > Es gäbe doch auch die Möglichkeiten:
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0 & cos(90°) & -sin(90°) \\ 0 & sin(90°) & cos(90°)}[/mm]
>
> ist das Deine Drehmatrix im b-Koordinatensystem.
>
Wie viele wissen, die hier draufklicken werden, ist das hier eine Examensaufgabe und demnach gibt es von Schörner (Uni Muc) auch eine Lösung online. Diese Lösung, wie auch die aus meiner Uni, geben M wie beschrieben mit
M= [mm]\pmat{ cos(90°) & -sin(90°) &0 \\ sin(90°) & cos(90°) & 0\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
an.
Meine Frage ist nicht, was korrekt ist, scheinbar stimmt diese Matrix M so, meine Frage ist, wann man in diesem Fall welche der 3 möglichen Drehmatrizen im [mm] \IR^3 [/mm] benutzt. Und wieso eben speziell in diesem Fall jene, welche [mm] m_{3,3}=1 [/mm] hat.
> Punkt 2 hast Du selbst geklärt, oder verstehe ich das
> falsch?
Das weiß ich nicht. Ist der geschilderte Gedankengang korrekt, bzw. bedeutet diese Frage implizit, dass er korrekt ist?
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> > Ich muss mich mal wieder für ungenaues Lesen
> > entschuldigen. Deine M und die M der Lösung müssen
> > verscheiden sein, da in der Lösung eine andere Basis
> > gewählt wurde. Du hast [mm]b_1[/mm] als Drehachsenvektor gewählt,
> Wie viele wissen, die hier draufklicken werden, ist das
> hier eine Examensaufgabe und demnach gibt es von Schörner
> (Uni Muc) auch eine Lösung online. Diese Lösung, wie auch
> die aus meiner Uni, geben M wie beschrieben mit
> M= [mm]\pmat{ cos(90°) & -sin(90°) &0 \\ sin(90°) & cos(90°) & 0\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> an.
> Meine Frage ist nicht, was korrekt ist, scheinbar stimmt
> diese Matrix M so,
Hallo,
es ist exakt so, wie chrisno es Dir gesagt hat:
wenn man es so macht, daß man den Basisvektor, der in Richtung der Drehachse zeigt, [mm] b_1 [/mm] nennt, er also der erste Vektor Deiner ONB [mm] B=(b_1, b_2, b_3) [/mm] ist,
dann ist doch bei einer Drehung [mm] \sigma [/mm] um 90° um diese Achse
[mm] \sigma(b_1)=b_1=1*b_1,
[/mm]
[mm] \sigma(b_2)=b_3=1*b_3,
[/mm]
[mm] \sigma(b_3)=-b_2=-1*b_2.
[/mm]
Damit ist die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis B die Matrix
[mm] [\sigma]_B=\pmat{1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0}. [/mm]
Deine Chefs habe offenbar die Basisvektoren so gewählt, daß die Drehachse in Richtung des dritten Vektors ist. Sie arbeiten also mit einer ONB [mm] C=(c_1, c_2, c_3), [/mm] bei welcher [mm] c_3 [/mm] Dein Vektor [mm] b_1 [/mm] ist.
Hier haben wir
[mm] \sigma(c_1)=c_2,
[/mm]
[mm] \sigma(c_2)=-c_1
[/mm]
[mm] \sigma(c_3)=c_3,
[/mm]
und damit ist die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis C die Matrix
[mm] [\sigma]_C=\pmat{0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1}. [/mm]
Beide Lösungen sind richtig - es kommt halt darauf an, was man als Basis wählt.
Im Endeffekt wird dann aber als Dratellungsmatrix bzgl. der Standardbasis diesselbe Matrix herauskommen.
> meine Frage ist, wann man in diesem Fall
> welche der 3 möglichen Drehmatrizen im [mm]\IR^3[/mm] benutzt. Und
> wieso eben speziell in diesem Fall jene, welche [mm]m_{3,3}=1[/mm]
> hat.
Wenn der i-te Vektor die Drehachse ist, hat man in der i-ten Spalte [mm] m_{i,i}=1 [/mm] und sonst Nullen.
Der Vektor in Richtung der Drehachse ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Nehmen wir nun Deine Matrix [mm] [\sigma]_B=\pmat{1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0}. [/mm]
Was tut sie für uns? Wenn wir sie mit einem Vektor, der in Koordinaten bzgl B gegeben ist, füttern (=multiplizieren), liefert sie uns sein Bild bei Drehung um 90° um [mm] b_1 [/mm] - und zwar in Koordinaten bzgl. B.
Du sollst nun sagen, wie die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis aussieht.
[mm] [\sigma]_B [/mm] frißt aber keine Vektoren, die bzgl der Standardbasis sind. Man muß sie erst umwandeln in solche bzgl. der Basis B.
Dies tut die Matrix [mm] B^{-1}, [/mm] und weil wir eine ONB haben, ist hier [mm] B^{-1}=B^T.
[/mm]
Die Matix [mm] [\sigma]_B*B^T [/mm] schenkt uns, wenn wir sie mit einem Vektor bzgl. der Standardbasis füttern, sein Bild unter der Drehung in Koordinaten bzgl B.
Wir wollen aber das Ergebnis in Koordinaten bzgl. der Standardbasis, deshalb multiplizieren wir noch mit der Matrix B, welche Vektoren, die bzgl B sind, in solche bzgl. der Standardbasis umwandelt, so daß man bekommt
[mm] [\sigma]=B*[\sigma]_B*B^T.
[/mm]
Deine Chefs werden dann dasselbe Spielchen mit der Basis C spielen,
und wenn alles gut läuft (= sich niemand verrechnet), liefert [mm] C*[\sigma]_C*C^T [/mm] diesselbe Matrix [mm] [\sigma] [/mm] wie die, die Du bekommst.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Do 31.12.2015 | | Autor: | SoWhat |
Perfekt!
Danke für die ausführliche Erklärung, jetzt ist die Sache absolut geklärt!
Vielen lieben Dank und guten Rutzsch :)
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