Drehmatrize wieso falsch < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Bezeichne D die räumliche Drehung um die y-Achse um den Winkel 60◦.
Es soll diejenige Matrix bezüglich der kanonischen Basis [mm] $e_{1},e_{2},e_{3}$ [/mm] hergeleitet werden. |
Hallo,
Mein Weg Darstellungsmatrizen zu finden sieht so aus: Ich drehe die kanonischen Einheitsvektoren einzeln und jeden einzelnen stelle ich durch die Linearkombination aller Basisvektoren dar! Die Koeffizienten sind dann die Spalten der Darstellungsmatrix.
Stimmt dieses Vorgehen?
Wenn ich [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] um 60° drehe, dann bleibt er in derselben Ebene. also erhalte ich hier den Vektor: [mm] \vektor{sin(60°)\\0\\0}
[/mm]
Der [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] bleibt so wie er ist, und [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] wird [mm] \vektor{0\\0\\cos(60°)}$
[/mm]
also gäbe mir das die Drehmatrix [mm] \vektor{sin(60°) & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&cos(60°)}
[/mm]
aber das stimmt ja sicher nicht schon weil der Betrag des Vektors sich ja durch die Drehung nicht ändern darf....
Was stimmt hier nicht?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
vielen Dank und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mo 17.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Du sagst du drehst den Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] um 60° und meinst das gäbe [mm] \vektor{sin(60°)\\0\\0}. [/mm] Überleg dir mal, da muss ja was falsch sein - wenn du den Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] drehst kann doch nicht einfach ein Vielfaches davon herauskommen! Da muss doch noch mind. eine andere Richtungskomponente einen Wert bekommen...
Zeichne dir einen Vektor ins x-z-Koordinatensystem. Drehst du den Vektor und lässt den Betrag gleich entsteht ein Kreis.
Tipp:
Wie du sagst darf sich der Betrag nicht ändern
Weil [mm] sin(x)^{2} [/mm] + [mm] cos(x)^{2} [/mm] = 1
hat der [mm] \vektor{cos(x) \\ sin(x)} [/mm] konstanten Betrag.
Was in deiner Matrix stimmt ist die mittlere Zeile. ---> y bleibt y. Richtig.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
[mm] $\vektor{sin(60°)&0&cos(60°\\0&1&0\\cos(60°)&0&sin(60°)}$
[/mm]
So stimmen die Beträge. Gibt es einen "einfachen" Weg herauszufinden ob es sich um cosinus/sinus handelt?
vielen Dank und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mo 17.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Das ist mehr oder weniger willkürlich - kommt darauf an ob du die z-Achse bzw. x-Achse Horizontal oder Vertikal legst, was davon abhängt wie du ins 3D-Koordinatensystem hereinsiehst und wie du die Umlaufrichtung definierst...
Es gibt aber noch etwas: Es müssen noch eventuell Vorzeichen geändert wertden:
Sagen wir du hast die Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }. [/mm] Jetzt muss Skalarprodukt [mm] \vektor{a \\ b}*\vektor{c \\ d} [/mm] = 0 Null sein, damit die Vektoren orthogonal aufeinander sind.
Du bildest nämlich im Prinzip einen Vektor in eine andere Basis ab.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Ok, dankeschön.
Gruss
kushkush
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