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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:03 So 02.02.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie eine allgemeine Formel für die Inverse [mm] A^{-1} [/mm] einer Matrix
[mm] \pmat{ a11 & a12 \\ a21 & a22 } \in GL_{2}(R)
[/mm]
b) Wir betrachten in [mm] M_{2}(R) [/mm] die Teilmenge der Drehmatrizen
K = [mm] \pmat{ cos(y) & -sin(y) \\ sin(y) & cos(y) } [/mm] y [mm] \in [/mm] R
(i) Beweisen Sie, dass K sogar eine Teilmenge von [mm] GL_{2}(R) [/mm] ist.
(ii) Zeigen Sie, dass für zwei Matrizen [mm] R_{y}; R_{z} \in [/mm] K auch [mm] R_{y}*R_{z} \in [/mm] K gilt.
Hinweis: Verwenden Sie die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus.
(iii) Berechnen Sie die Inverse [mm] R_{y}^{-1} [/mm] einer Matrix [mm] R_{y} \in [/mm] K und zeigen Sie dass [mm] R_{y}^{-1} [/mm] wieder in K liegt. |
a) Nach der Cramerschen Regel lässt sich das Gleichungssystem
[mm] Ax_{i}=e_{i} [/mm] mit [mm] e_{i} [/mm] der i-te Einheitsvektor durch
[mm] x_{i}= (det(A_{1}^{i})/det(A), det(A_{2}^{i})/det(A), [/mm] ..., [mm] det(A_{n}^{i})/det(A)) [/mm] = [mm] (1/det(A))(det(A_{1}^{i}), det(A_{2}^{i}),...,det(A_{n}^{i})) [/mm] = [mm] (1/det(A))(a_{1}_{i}, a_{2}_{i},..., [/mm]
[mm] a_{n}_{i}) [/mm] lösen
daraus folgt
[mm] Ax_{i}e_{i}^T [/mm] = [mm] e_{i}e_{i}^T
[/mm]
[mm] Ax_{1}e_{1}^T+Ax_{2}e_{2}^T+...+Ax_{n}e_{n}^T= e_{1}e_{1}^T+e_{2}e_{2}^T+...+e_{n}e_{n}^T [/mm]
=>
[mm] A(x_{1}e_{1}^T+x_{2}e_{2}^T+...+x_{n}e_{n}^T) [/mm] = E
A * adj(A)/det(A) = E
und für eine 2 x 2 Matrix ergibt sich damit [mm] (1/(a_{1}_{1}a_{2}_{2}-a_{1}_{2}a_{2}_{1})) \pmat{ a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} }
[/mm]
b) (i) Dazu muss ich doch nur zeigen, dass alle Element K invertierbar sind oder? Und dass kann ich tun indem zeige dass es für alle Elemente K eine [mm] R_{y}^{-1} [/mm] gibt mit [mm] R_{y}* R_{y}^{-1} [/mm] = E
[mm] R_{y}^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ cos/(cos^2+sin^2) & sin/(cos^2+sin^2) \\ -sin/(cos^2+sin^2) & cos/(cos^2+sin^2) } [/mm] denn dann ergibt
[mm] \pmat{ cos & -sin \\ sin & cos } \pmat{ cos/(cos^2+sin^2) & sin/(cos^2+sin^2) \\ -sin/(cos^2+sin^2) & cos/(cos^2+sin^2) } [/mm]
= [mm] \pmat{ cos^2/(cos^2+sin^2) + sin^2/(cos^2+sin^2) & cos*sin/(cos^2+sin^2) - sin*cos/(cos^2+sin^2) \\ cos*sin/(cos^2+sin^2) - sin*cos/(cos^2+sin^2) & cos^2/(cos^2+sin^2) + sin^2/(cos^2+sin^2) }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = E für alle y [mm] \in [/mm] R
(ii) [mm] R_{y} [/mm] * [mm] R_{z} [/mm] ergibt unter Anwendung der Additionstheoreme:
[mm] \pmat{ cos(y+z) & -sin(y+z) \\ sin(y+z) & cos(y+z) } [/mm] y+z [mm] \in [/mm] R und somit ist
[mm] R_{y} [/mm] * [mm] R_{z} \in [/mm] K.
(iii) Die Inverse hab ich schon in (i) gezeigt und weil [mm] cos^2(y)+sin^2(y) [/mm] = 1
lautet sie vereinfacht [mm] \pmat{ cos(y) & sin(y) \\ -sin(y) & cos(y) } [/mm] und weil
-sin(y) = sin(-y) und cos(y) = cos(-y) ist dies [mm] \pmat{ cos(-y) & -sin(-y) \\ sin(-y) & cos(-y) } [/mm] wobei -y [mm] \in [/mm] R und somit [mm] R_{y}^{-1} \in [/mm] K.
Ist das richtig? Vielen Dank für die Mühe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:00 So 02.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
es ist alles richtig!
Aber benutze doch [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] auch schon in bi. Das erspart gaaaaaaaanz viel Schreibarbeit.
Gruß Sax.
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