Drehung, Spiegelung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Di 29.07.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Folgende Aufgabe ist zu lösen:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
zur a) Meinem Skript entnehme ich [mm] \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha } [/mm] als allgemeine Form einer Matrize mit Drehwinkel [mm] \alpha.
[/mm]
Da die Basis C die Standardbasis ist, muss ich diese nicht weiter beachten?
Damit wäre meine Abbildung [mm] \phi:=\pmat{ \frac{\wurzel{2}}{2} & -\frac{\wurzel{2}}{2} \\ \frac{\wurzel{2}}{2} & \frac{\wurzel{2}}{2} }
[/mm]
zur b)
hier wieder aus dem Skript: Matrizen der Form [mm] \pmat{ cos\alpha & sin\alpha \\ sin\alpha & -cos\alpha } [/mm] beschreiben Spiegelungen.
Hier fehlt mir das Verständnis: Muss ich zuerst die Ebene spiegeln, indem ich sie mit der Matrize der obengenannten Form multipliziere? Dann habe ich [mm] {_E}\phi{_E}. [/mm] Um zu [mm] {_B}\phi{_B} [/mm] zu gelangen ein LGS aufstellen mit den Spaltenvektoren von [mm] {_E}\phi{_E}. [/mm] Das würde ich aber bereits daran Scheitern das dieses [mm] {_E}\phi{_E} [/mm] eine 2x2-Matrix ist... kein Weiterkommen :( .
Danke für eure Antworten!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Folgende Aufgabe ist zu lösen:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> zur a) Meinem Skript entnehme ich [mm]\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }[/mm]
> als allgemeine Form einer Matrize mit Drehwinkel [mm]\alpha.[/mm]
>
> Da die Basis C die Standardbasis ist, muss ich diese nicht
> weiter beachten?
Was in Deinem Skript über diese Drehmatrix steht bezieht sich ja auf die Standardbasis.
> Damit wäre meine Abbildung [mm]\phi:=\pmat{ \frac{\wurzel{2}}{2} & -\frac{\wurzel{2}}{2} \\ \frac{\wurzel{2}}{2} & \frac{\wurzel{2}}{2} }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zur b)
>
> hier wieder aus dem Skript: Matrizen der Form [mm]\pmat{ cos\alpha & sin\alpha \\ sin\alpha & -cos\alpha }[/mm]
> beschreiben Spiegelungen.
Du hast in der Aufgabenstellung eine 3dim Situation. Was Du hier zu verwenden versuchst, mag allenfalls eine Geradenspiegelung im [mm] $\IR^2$ [/mm] sein.
> Hier fehlt mir das Verständnis: Muss ich zuerst die Ebene
> spiegeln, indem ich sie mit der Matrize der obengenannten
> Form multipliziere? Dann habe ich [mm]{_E}\phi{_E}.[/mm] Um zu
> [mm]{_B}\phi{_B}[/mm] zu gelangen ein LGS aufstellen mit den
> Spaltenvektoren von [mm]{_E}\phi{_E}.[/mm] Das würde ich aber
> bereits daran Scheitern das dieses [mm]{_E}\phi{_E}[/mm] eine
> 2x2-Matrix ist... kein Weiterkommen :( .
Du erkennst an der Gleichung der Ebene [mm] $E_1$ [/mm] sogleich, dass [mm] $b_1$ [/mm] Normalenvektor dieser Ebene ist. [mm] $b_2$ [/mm] und [mm] $b_3$, [/mm] andererseits, sind [mm] $\perp b_1$ [/mm] also [mm] $\parallel E_1$. $b_1$ [/mm] wird somit bei der Spiegelung an [mm] $E_1$ [/mm] auf [mm] $-b_1$ [/mm] abgebildet, wohingegen [mm] $b_{2,3}$ [/mm] auf sich selbst abgebildet werden. Daher lautet die Abbildungsmatrix von [mm] $\varphi$ [/mm] bezüglich der Basis [mm] $\mathcal{B}=(b_1,b_2,b_3)$:
[/mm]
[mm]{}_{\mathcal{B}}\varphi_{\mathcal{B}}=\pmat{-1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1}[/mm]
Zur Bestimmung von [mm] ${}_{\mathcal{E}}\varphi_{\mathcal{E}}$ [/mm] bezüglich der Standardbasis [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] musst Du diese Matrix nun passend transformieren.
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