Drehung um beliebigen Vektor < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Welche Gestalt hat eine Matrix, die eine Drehung im [mm] \IR^{3} [/mm] um den Drehwinkel [mm] \phi [/mm] um einen beliebigen Vektor (Drehachse) [mm] q=(q_{1},q_{2},q_{3}) [/mm] mit [mm] ||q_{}|| [/mm] = 1 bzgl. der Standardbasis des [mm] \IR^{3} [/mm] beschreibt?
Tipp: Bestimmen Sie zunächst eine Orthonormalbasis [mm] B=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} [/mm] des [mm] \IR^{3}, [/mm] so dass [mm] v_{3}=(q_{1},q_{2},q_{3}) [/mm] die Drehachse erzeugt! Um geeignete Vektoren [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] zu finden, zeigen Sie
[mm] \left<(q_{1},q_{2},q_{3})\right>^{\perp} [/mm] = [mm] \left<(-q_{2},q_{1},0), (-q_{3},0,q_{1}), (0,-q_{3},q_{2})\right>!
[/mm]
Stellen Sie dann die Matrix der Drehung bzgl. der Basis B auf und verwenden Sie die Transformationsformel!
b) Überprüfen Sie, ob der Vektor q unverändert bleibt! |
Hallo, also bei dieser Aufgabe habe ich nicht mal eine Idee. Wäre super wenn mir da mal jemand eine Hilfestellung geben könnte.
Danke im Voraus.
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Welchen Eigenvektor hat die gesuchte Matrix? Zu welchem Eigenwert? Kann man das irgendwie nutzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Di 15.05.2007 | | Autor: | rainman_do |
Oh, sorry das sagt mir leider gar nichts. Also die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor kenne ich schon, nur ist es leider so, dass wenn in einer Aufgabe das Wort "Drehung" oder "Spiegelung" vorkommt, sich mein Gehirn automatisch abschaltet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Di 15.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Lege doch einfach einmal einen Stift in die Mitte eines DinA5-Papiers (so dass der Stift ungefähr die Mittelsenkrechte auf den längeren Seiten darstellt).
Heb den Stift mit den Papier hoch.
Den Stift stellst Du dir als Vektor vor. Das eine Ende des Stiftes ist der Ursprung Deines KOS.
Das Papier ist ein Ausschnitt des Raumes (genauer: ein Aussschnitt einer Ebene die den Stift als Vektor enthält).
Wenn Du nun den Stift drehst, drehst auch Du automatisch das Papier.
Und Du siehst, was eine Drehung mit solchen Ebenen "macht".
Ferner stellst Du fest, dass Dein Stift interpretiert als Vektor "gleich" bleibt, d.h. Du hast eigentlich einen Eigenvektor in Deiner Hand.
Den Eigenwert kannst Du übrigens auch angeben.
Den anderen Tipp zum Orthogonal-Raum deines Stiftes verstehe ich übrigens selber nicht so ganz ...
Der Orthogonal-Raum zum Eigenvektor sollte meiner Meinung nach invariant unter der Drehung sein.
[Anschaulich wäre dieser Orthogonalraum ein weiteres Stück-Papier, was Du unten an den Stift hälst und welches senkrecht auf dem Stift steht.
Wenn Du nun den Stift drehst, bleibt das "Papier" in der Ebene, die es darstellt. Kann man auch noch "nachspielen" ...]
Falls Du Drehungen im [mm] $R^2$ [/mm] "kennst", so kannst Du diese Kenntnisse (Ergebnisse) auf den Orthogonal-Raum anwenden ...
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