Drehungen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sind [mm]\delta_1[/mm] und [mm]\delta_2[/mm] zwei Drehungen mit verschiedenen Zentren so gilt: [mm]\delta_1\circ\delta_2=\delta_2\circ\delta_1[/mm], genau dann, wenn [mm]\delta_1[/mm] oder [mm]\delta_2[/mm] die identische Abbildung ist. |
Hallo Mathefreunde,
ich habe zu dieser Aufgabe nur eine Richtung des Beweises abschließen können.
"<="
Es gibt hier nur eine Identität und zwar jene Drehung um 0 Grad. Deswegen gilt;
[mm]\delta_1\circ id = id \circ \delta_1\wedge id \circ \delta_2=\delta_2\circ id[/mm]
Wie "=>" aussehen muss weiß ich leider nicht. Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße
Christoph
|
|
| |
|
> Sind [mm]\delta_1[/mm] und [mm]\delta_2[/mm] zwei Drehungen mit
> verschiedenen Zentren so gilt:
> [mm]\delta_1\circ\delta_2=\delta_2\circ\delta_1[/mm], genau dann,
> wenn [mm]\delta_1[/mm] oder [mm]\delta_2[/mm] die identische Abbildung ist.
> Hallo Mathefreunde,
>
> ich habe zu dieser Aufgabe nur eine Richtung des Beweises
> abschließen können.
>
> "<="
>
> Es gibt hier nur eine Identität und zwar jene Drehung um 0
> Grad. Deswegen gilt;
>
> [mm]\delta_1\circ id = id \circ \delta_1\wedge id \circ \delta_2=\delta_2\circ id[/mm]
>
> Wie "=>" aussehen muss weiß ich leider nicht. Kann mir
> jemand helfen?
Hallo,
ich finde, man kann Dir sehr schlecht helfen, weil man so wenig Lösungsansatz sieht (nämlich keinen), daß man überhaupt nicht weiß, was bekannt ist, was verwendet werden darf und in welcher "Sprache" das Ganze stattfinden soll.
Nimm an, daß [mm] \delta_1\not=id.
[/mm]
Ich gehe davon aus, daß die Verkettung zweier Drehungen bereits besprochen wurde.
Dann weißt Du, wo das Drehzentrum von [mm] $\delta_1\circ\delta_2$ [/mm] liegt und wie groß der Drehwinkel ist, ebenso für [mm] $\delta_2\circ\delta_1$.
[/mm]
Wenn die beiden Drehungen gleich sind, sind also Drehzentrum und Drehwinkel gleich, und daraus müßtest Du nun irgendwie Schlüsse ziehen.
LG Angela
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
>
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
ich habe nun einen Ansatz. Wenn ich eine Drehung um M mache (30 Grad) und das dann in N überführe um 45 Grad und umgekehrt. Dann hat doch das Drehzentrum von beiden Drehungen immer 75 Grad oder? Ich hab mir das mal aufgezeichnet. Mein Problem ist allerdings, dass ich nicht weiß, wie ich dies allgemein ausdrücken soll.
Liebe Grüße
Christoph
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela,
>
> ich habe nun einen Ansatz. Wenn ich eine Drehung um M mache
> (30 Grad) und das dann in N überführe um 45 Grad und
> umgekehrt. Dann hat doch das Drehzentrum von beiden
> Drehungen immer 75 Grad oder? Ich hab mir das mal
> aufgezeichnet. Mein Problem ist allerdings, dass ich nicht
> weiß, wie ich dies allgemein ausdrücken soll.
Hallo,
meister_quitte, so geht das nicht!
Auch wenn sich die Vorlesung "Elementargeometrie" nennt, heißt das nicht, daß man allein mit den Methoden eines mäßigen Achtkläßlers zum Ziel kommt. Auch nicht, wenn die VL für Lehrämtler gedacht ist.
Du müßtest echt mal einen Blick in die Vorlesungsmitschrift oder zur Vorlesung passende Literatur werfen, sonst gewinnst Du keinen Blumentopf.
Versteh_ mich nicht falsch: ich find's wirklich gut, als kleine Hilfe für einen selbst das mal an einem konkreten Beispiel durchzuspielen - aber allein das ist etwas mager.
Und noch schlimmer: Du stoppst auf der Hälfte des Weges. Zumindest müßtest Du ja noch untersuchen, was rauskommt, wenn Du zuerst um 45° um N und dann um 30° um M drehst.
> Dann hat doch das Drehzentrum von beiden
> Drehungen immer 75 Grad oder?
Heiliger Strohsack! Ein Drehzentrum hat soundsoviel Grad? Was soll das denn bedeuten?
Du wolltest sicher sagen, daß die Nacheinanderausführung der beiden Drehungen eine Drehung um 75° ist. Das stimmt. Drüber nachzudenken wäre, wo wir wie das Drehzentrum finden.
Ebenso im umgekehrten Falle.
Man wird dann wohl feststellen, daß die beiden Zentren nicht gleich sind.
Es ist nicht so, daß ich Dir nicht helfen mag, bloß sollte die Hilfe ja auch ein bißchen zu dem passen, was Du bisher schon hättest lernen sollen, und davon sieht man nach wie vor wenig.
(Das andere Problem, daß nämlich meine entsprechende Vorlesung, sofern ich überhaupt je eine gehört habe, 3 Jahrzehnte her ist, hatte ich ja an anderer Stelle bereits erwähnt - andere sind sicher kompetenter, allerdings offensichtlich in Schockstarre...)
Wenn ich die Aufgabe lösen müßte, hätte ich spontan zwei recht verschiedene Lösungsansätze zu bieten:
A. Mit Matrizen und Vektoren: man könnte die beiden Drehungen jeweils schreiben als Verkettung passender Translationen und einer Drehung um den Ursprung.
Man würde hier wohl auch mit homogenen Matrizen/Koordinaten arbeiten können, wenn man weiß, wie's geht.
B. Eher geometrisch: auf die Darstellbarkeit durch Spiegelungen zurückgehen, und dabei die 4 Achsen jeweils so geschickt wählen, daß man mit dreien auskommt, also die Verbindungsgerade zwischen M und N für beide Drehungen nutzen.
Ich hab' das eben mal skizziert und bekomme für [mm] \alpha, \beta\not= [/mm] 0° ein Parallelogramm, in welchem sich die beiden resultierenden Drehzentren "gegenüber"liegen.
Eigentlich denke ich ja auch, daß Du bzgl der Verkettung von Drehungen auch bereits auf Ergebnisse aus der VL zurückgreifen und hier andocken können müßtest.
LG Angela
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
> >
> > ich habe nun einen Ansatz. Wenn ich eine Drehung um M mache
> > (30 Grad) und das dann in N überführe um 45 Grad und
> > umgekehrt. Dann hat doch das Drehzentrum von beiden
> > Drehungen immer 75 Grad oder? Ich hab mir das mal
> > aufgezeichnet. Mein Problem ist allerdings, dass ich nicht
> > weiß, wie ich dies allgemein ausdrücken soll.
>
> Hallo,
>
> meister_quitte, so geht das nicht!
> Auch wenn sich die Vorlesung "Elementargeometrie" nennt,
> heißt das nicht, daß man allein mit den Methoden eines
> mäßigen Achtkläßlers zum Ziel kommt. Auch nicht, wenn
> die VL für Lehrämtler gedacht ist.
> Du müßtest echt mal einen Blick in die
> Vorlesungsmitschrift oder zur Vorlesung passende Literatur
> werfen, sonst gewinnst Du keinen Blumentopf.
>
> Versteh_ mich nicht falsch: ich find's wirklich gut, als
> kleine Hilfe für einen selbst das mal an einem konkreten
> Beispiel durchzuspielen - aber allein das ist etwas mager.
> Und noch schlimmer: Du stoppst auf der Hälfte des Weges.
> Zumindest müßtest Du ja noch untersuchen, was rauskommt,
> wenn Du zuerst um 45° um N und dann um 30° um M drehst.
>
> > Dann hat doch das Drehzentrum von beiden
> > Drehungen immer 75 Grad oder?
>
> Heiliger Strohsack! Ein Drehzentrum hat soundsoviel Grad?
> Was soll das denn bedeuten?
Sorry, ich meinte die Drehung von [mm]\delta_1\circ\delta_2[/mm] um N'.
> Du wolltest sicher sagen, daß die Nacheinanderausführung
> der beiden Drehungen eine Drehung um 75° ist. Das stimmt.
> Drüber nachzudenken wäre, wo wir wie das Drehzentrum
> finden.
>
> Ebenso im umgekehrten Falle.
> Man wird dann wohl feststellen, daß die beiden Zentren
> nicht gleich sind.
>
> Es ist nicht so, daß ich Dir nicht helfen mag, bloß
> sollte die Hilfe ja auch ein bißchen zu dem passen, was Du
> bisher schon hättest lernen sollen, und davon sieht man
> nach wie vor wenig.
> (Das andere Problem, daß nämlich meine entsprechende
> Vorlesung, sofern ich überhaupt je eine gehört habe, 3
> Jahrzehnte her ist, hatte ich ja an anderer Stelle bereits
> erwähnt - andere sind sicher kompetenter, allerdings
> offensichtlich in Schockstarre...)
>
> Wenn ich die Aufgabe lösen müßte, hätte ich spontan
> zwei recht verschiedene Lösungsansätze zu bieten:
>
> A. Mit Matrizen und Vektoren: man könnte die beiden
> Drehungen jeweils schreiben als Verkettung passender
> Translationen und einer Drehung um den Ursprung.
> Man würde hier wohl auch mit homogenen
> Matrizen/Koordinaten arbeiten können, wenn man weiß,
> wie's geht.
>
> B. Eher geometrisch: auf die Darstellbarkeit durch
> Spiegelungen zurückgehen, und dabei die 4 Achsen jeweils
> so geschickt wählen, daß man mit dreien auskommt, also
> die Verbindungsgerade zwischen M und N für beide Drehungen
> nutzen.
> Ich hab' das eben mal skizziert und bekomme für [mm]\alpha, \beta\not=[/mm]
> 0° ein Parallelogramm, in welchem sich die beiden
> resultierenden Drehzentren "gegenüber"liegen.
B hört sich vielversprechend an. Kannst du mir sagen, wie du auf das Parallelogramm kommst?
>
> Eigentlich denke ich ja auch, daß Du bzgl der Verkettung
> von Drehungen auch bereits auf Ergebnisse aus der VL
> zurückgreifen und hier andocken können müßtest.
Prinzipiell gebe ich dir da Recht. Aber es gab weder ein Skript, noch für mich ein nachvollziehbares Tafelbild. Mein Problem ist es meine Dozentin zu verstehen, mit dem was sie da schreibt. Ich denke da brauche ich noch ein wenig Zeit, um alles zu verstehen. In der Ruhe liegt die Kraft. Wenn wir uns beide Zeit nehmen, kriegen wir das schon gewuppt.
Liebe Grüße
Christoph
|
|
|
| |
|
> > B. Eher geometrisch: auf die Darstellbarkeit durch
> > Spiegelungen zurückgehen, und dabei die 4 Achsen jeweils
> > so geschickt wählen, daß man mit dreien auskommt, also
> > die Verbindungsgerade zwischen M und N für beide Drehungen
> > nutzen.
> > Ich hab' das eben mal skizziert und bekomme für
> [mm]\alpha, \beta\not=[/mm] 0° ein Parallelogramm, in welchem sich die beiden
> > resultierenden Drehzentren "gegenüber"liegen.
>
> B hört sich vielversprechend an. Kannst du mir sagen, wie
> du auf das Parallelogramm kommst?
Hallo,
oh.
Ich hatte mir das völlig anders vorgestellt: daß Du jetzt nämlich mal diese vielversprechende Idee aufgreifst und ein wenig nachliest zum Thema und dann eigene Versuche anstellst.
Darauf kommt es doch an! Und nicht darauf, daß Du irgendwie mein Parallelogramm auf dem Zettel hast.
Es will mir nicht recht gefallen, daß Du den Ball, den ich Dir zugespielt habe, nämlich den Hinweis auf die Darstellung von Drehungen (bzw. allgemeiner: Bewegungen der Ebene) durch Spiegelungen, gar nicht annimmst.
> >
> > Eigentlich denke ich ja auch, daß Du bzgl der
> Verkettung
> > von Drehungen auch bereits auf Ergebnisse aus der VL
> > zurückgreifen und hier andocken können müßtest.
>
> Prinzipiell gebe ich dir da Recht. Aber es gab weder ein
> Skript, noch für mich ein nachvollziehbares Tafelbild.
Jaja, das Problem kenne ich natürlich auch von früher!
Ich weiß nicht, ob es heutzutage noch sowas wie Bibliotheken gibt.
Das ist so'n Haus mit vielen Büchern drin, die man angucken und ausleihen kann. Bücher sind so Dinger aus Papier...
Naja, jedenfalls früher gab es Bibliotheken, und wir haben uns dann immer einen Stapel Bücher geholt, von denen wir hofften, daß sie zum Thema passen.
Dann darin nachlesen, vorlesen usw.
> Mein Problem ist es meine Dozentin zu verstehen, mit dem
> was sie da schreibt. Ich denke da brauche ich noch ein
> wenig Zeit, um alles zu verstehen. In der Ruhe liegt die
> Kraft. Wenn wir uns beide Zeit nehmen, kriegen wir das
> schon gewuppt.
Die Dozentin wird sich schon Zeit nehmen für Dich.
Sie hält sicher auch Sprechstunden ab.
Vielleicht kann sie Dir auch ein paar Literaturtips geben.
Sie freut sich sicher, wenn Studenten gerne nacharbeiten wollen, und wenn sie kein Unmensch ist, wird sie verstehen, daß man in der Vorlesung nicht alles so schnell aufnehmen und begreifen kann.
Aber ich warne Dich: die Zeit, die Ihr Euch füreinander nehmt, reicht nicht! Es kommt vor allem darauf an, daß Du selbständig den Stoff vor- und nachbereitest, ggf. auch zusammen mit Kommilitonen.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Tut mir leid, dass ich so nerve... nee eigentlich doch nicht  . Nur leider bin ich nicht bei mir in der Bude gerade. Das heißt ich befinde mich gerade in meiner kleinen Herkunftsstadt, die in der Bibliothek nur Trivialliteratur führt. Somit bin ich hier auf das Forum und meine Ideengabe angewiesen.
Liebe Grüße
Christoph
|
|
|
|
