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| Aufgabe | In einer Ebene sei durch die Einheitsvektoren e1 und e2 ein kartesisches Koordinatensystem gegeben. Ein Vektor x habe bezüglich dieses Koordinatensystems die Koordinaten [mm] \vektor{\alpha 1 \\ \alpha 2}, [/mm] also
[mm] x=\alpha1e1+\alpha2e2
[/mm]
Man möchte den Vektor x um den Urpsprung drehen und zwar um den Winkel [mm] \beta [/mm] im Gegenuhrzeigersinn. Das Bild von x sei x'.
Um die Bildpunkte zu bestimmen geht man den Umweg und dreht die Basisvektoren e1 und e2 um den Ursprung mit dem Winkel [mm] \beta. [/mm] Die Bildvektoren seien e1' und e2', dann gilt:
x'= [mm] \alpha1e1'+\alpha2e2', [/mm] d.h. der Bildvektor x' hat in der gedrehten Basis (e1',e2') gerade die alten Koordinaten [mm] \vektor{\alpha1 \\ \alpha2}.
[/mm]
Machen Sie sich anhand einer Skizze plausibel, wie man nun e1' und e2' ausdrücken kann. |
Hallo zusammen,
ich habe gesehen, dass man als Lösung:
[mm] e1'=cos\betae1+sin\betae2,
[/mm]
[mm] e2'=-sin\betae1+cos\betae2
[/mm]
erhält.
Das ist mir aber auch anhand einer Skizze überhaupt nicht klar geworden.
Was ist das denn überhaupt für eine Darstellung für e1' bzw e2'?
Ist das eine Vektoraddition aus 2 Vektoren, die dann jeweils e1' und e2' liefert?
Hab mir schon eine Skizze gemacht, in der ich e1, e2 als Basis habe, e1', e2' als gedrehte Basen um den Winkel [mm] \beta.
[/mm]
Der Winkel Beta ist dann eben der Winkel zwischen e1 und e1' bzw e2 und e2'.
Aber wie komme ich jetzt auf die Beziehung oben?
Wenn ich den Cosinus des Winkels bilde:
[mm] cos\beta=\bruch{e1}{e1'}, [/mm] da e1 ankathete und e1' hypothenuse...?! aber irgendwie komme ich nicht auf die Lösung..=(
Wäre für Hilfe dankbar!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Shurakai |
Hallo,
vielleicht hilft dir erstmal das Stichwort "Drehmatrix" weiter? http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Theoretix |
geht so, weil sich die Drehmatrix ja erst aus dieser Darstellung ergibt...also sollte ich erstmal das verstehen=)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mo 08.11.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> In einer Ebene sei durch die Einheitsvektoren e1 und e2 ein
> kartesisches Koordinatensystem gegeben. Ein Vektor x habe
> bezüglich dieses Koordinatensystems die Koordinaten
> [mm]\vektor{\alpha 1 \\ \alpha 2},[/mm] also
>
> [mm]x=\alpha1e1+\alpha2e2[/mm]
>
> Man möchte den Vektor x um den Urpsprung drehen und zwar
> um den Winkel [mm]\beta[/mm] im Gegenuhrzeigersinn. Das Bild von x
> sei x'.
> Um die Bildpunkte zu bestimmen geht man den Umweg und
> dreht die Basisvektoren e1 und e2 um den Ursprung mit dem
> Winkel [mm]\beta.[/mm] Die Bildvektoren seien e1' und e2', dann
> gilt:
>
> x'= [mm]\alpha1e1'+\alpha2e2',[/mm] d.h. der Bildvektor x' hat in
> der gedrehten Basis (e1',e2') gerade die alten Koordinaten
> [mm]\vektor{\alpha1 \\ \alpha2}.[/mm]
>
> Machen Sie sich anhand einer Skizze plausibel, wie man nun
> e1' und e2' ausdrücken kann.
> Hallo zusammen,
> ich habe gesehen, dass man als Lösung:
>
> [mm]e1'=cos\betae1+sin\betae2,[/mm]
> [mm]e2'=-sin\betae1+cos\betae2[/mm]
> erhält.
>
> Das ist mir aber auch anhand einer Skizze überhaupt nicht
> klar geworden.
> Was ist das denn überhaupt für eine Darstellung für e1'
> bzw e2'?
> Ist das eine Vektoraddition aus 2 Vektoren, die dann
> jeweils e1' und e2' liefert?
Ja, genau.
[mm] $e_1' [/mm] = [mm] c_1*e_1 [/mm] + [mm] c_2*e_2$
[/mm]
[mm] $e_2' [/mm] = [mm] d_1*e_1 [/mm] + [mm] d_2*e_2$
[/mm]
>
> Hab mir schon eine Skizze gemacht, in der ich e1, e2 als
> Basis habe, e1', e2' als gedrehte Basen um den Winkel
> [mm]\beta.[/mm]
> Der Winkel Beta ist dann eben der Winkel zwischen e1 und
> e1' bzw e2 und e2'.
> Aber wie komme ich jetzt auf die Beziehung oben?
Deine Skizze ist auch schon gut.
Ergänze sie folgendermaßen:
Zeichne um den Ursprung (0;0) einen Kreis mit Radius 1.
Die Einheitsvektoren [mm] $e_1$, $e_2$ [/mm] und die gedrehten Einheitsvektoren [mm] $e_1'$, $e_2'$ [/mm] haben alle Länge 1;
gehen also vom Ursprung bis zur Kreislinie.
Wenn Du jetzt z.B. [mm] $e_1'$ [/mm] in Koordinaten zur Basis [mm] ($e_1$, $e_2$) [/mm] angeben willst,
sind das An- und Gegenkathete eines Dreiecks mit Hypothenuse der Länge 1.
Also ist [mm] $c_1$ [/mm] = ..., [mm] $c_2$ [/mm] = ... .
>
> Wenn ich den Cosinus des Winkels bilde:
> [mm]cos\beta=\bruch{e1}{e1'},[/mm] da e1 ankathete und e1'
> hypothenuse...?! aber irgendwie komme ich nicht auf die
> Lösung..=(
>
> Wäre für Hilfe dankbar!
>
> Liebe Grüße
Gruß
meili
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