Drei große, viele kleine Kreis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
wie berechnet man die Radien(Durchmesser) der kleinen Kreise, die zwischen 3 große Kreise "passen"? Bei einem R=1 ist r1=(2*Wurzel(3)/2)-1=0,1547.
Wie berechnet man z. B. r2000?. Die kleinen Kreise werden stets kleiner. Gibt es eine Formel? Danke im Voraus.
Ich versuche, eine Skizze anzuhängen.
edit(reverend): konvertiert nach jpg und hier eingebunden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß, Ferma
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: psf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Fr 08.02.2013 | | Autor: | chrisno |
Was ist eine .psf Datei? Mit diesem Dateityp hast Du mich aus dem Kreis derer, die antworten könnten, ausgeschlossen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Fr 08.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Was ist eine .psf Datei? Mit diesem Dateityp hast Du mich
> aus dem Kreis derer, die antworten könnten,
> ausgeschlossen.
Das scheint ein recht obskures Grafikformat zu sein, was (u.a.?) von einem Programm namens ArcSoft PhotoStudio verwendet wird. Was auch immer das ist. Offenbar lassen sich solche Dateien mit xnview anzeigen, ich wuesste aber nicht, warum ich mir das jetzt installieren sollte.
Ferma, du solltest das dringend in ein anderes Grafikformat konvertieren, was man auch ohne spezielle Software verwenden kann. Speicher es zum Beispiel als JPEG- oder PNG-Datei. Ich hab die Datei mal vorsichtshalber gesperrt, da es offenbar recht aufwaendig ist, sie zu pruefen.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Fr 08.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
Du betrachtest das gleichseitige Dreieck, das von den Mittelpunkten der großen Kreise gebildet wird. Der Mittelpunkt des kleinen Kreises liegt auf dem Schnittpunkt der Höhen dieses Dreiecks. Die Höhe kannst du mit P. berechnen, der Schnittpunkt teilt sie im Verhältnis 1:2, der größere Teil ist R+r.
Wenn du das alles berücksichtigst, bekommst du eine Formel für r.
Dann erkennst du auch deine beiden Fehler : erstens den Schreibfehler in der angegebenen Formel für R=1 (der Zahlenwert ist wieder richtig) und zweitens den Irrglauben, r würde mit zunehmendem R kleiner.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Ferma |
Hi Sax,
r1=(2*Wurzel(3)/3)-1=0,1547. So stimmt es. Das mit dem Irrglauben hast du falsch verstanden. Dass die Kreise immer kleiner werden bezieht sich auf den GLEICHEN Radius. In diesem Falle R=1. So ist r2=0,1883 und r3=0,1021. Deine Überlegungen gelten anscheinend nur für r1. Die Radien r2 und r3 habe ich mit einem Zeichenprogramm ermittelt.
Gruß, Ferma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
jetzt sehe ich deine Skizze und sehe auch, dass die Radien der kleinen Kreise immer kleiner werden. Ich hatte für [mm] r_{2000} [/mm] das gehalten, was sich jetzt als [mm] r_1 [/mm] für R=2000 entpuppt hat.
Eine explizite Formel für [mm] r_n [/mm] sehe ich auch nicht, aber rekursiv lassen sie sich folgendermaßen berechnen :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit ED = x ergeben die beiden rechtwinkligen Dreiecke
[mm] x^2 [/mm] + [mm] R^2 [/mm] = [mm] (R+r_{n+1})^2 [/mm] und [mm] (x+r_{n+1}+r_n)^2 [/mm] + [mm] R^2 [/mm] = [mm] (R+r_n)^2
[/mm]
Daraus lässt sich x eliminieren, der Rest ergibt eine quadratische Gleichung für [mm] r_{n+1}
[/mm]
Gruß Sax.
Ich setze meine alte Antwort auf "halb beantwortet" zurück.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Ferma |
Hi,
das x lässt sich nicht eliminieren. Ich erhalte eine Gleichung mit 2 Unbekannten: [mm] 2x(R+r)-2(R-r)+2Rr+r^2=0.
[/mm]
das R bei mir ist dein [mm] $r_n$ [/mm] und r ist [mm] $r_{n+1}$
[/mm]
Gruß Ferma
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 09.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Hi,
> das x lässt sich nicht eliminieren. Ich erhalte eine
> Gleichung mit 2 Unbekannten: [mm]2x(R+r)-2(R-r)+2Rr+r^2=0.[/mm]
> das R bei mir ist dein [mm]r_n[/mm] und r ist [mm]r_{n+1}[/mm]
> Gruß Ferma
Hallo,
die drei gegenseitigen Berührungspunkte der großen Kreise bilden ein gleichseitiges Dreieck (in dem Höhen, Seitenhalbierende usw. zusammenfallen.)
Da sich die Seitenhalbierenden jedes Dreiecks im Verhältnis 2:1 teilen und hier die Seitenhalbierenden mit den Höhen identisch sind, ist x genau 2/3 der Höhe des gleichseitigen Dreiecks.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
warum änderst du deine eigene Bezeichnungsweise ?
Dein zweiter Summand kann nicht stimmen, weil er nicht quadratisch ist.
Selbstverständlich lässt sich x aus den beiden Gleichungen eliminieren, z.B. ergibt Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite eine lineare Gleichung in x, so dass x dann wieder in die erste Gleichung eingesetzt werden kann.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Ferma |
Hi,
ich habe meine Notation angeglichen, um den allgemeinen Fall zu betrachten. Anfangs bin ich vom ersten kleinen Kreis ausgegangen. Deine Zeichnung stellt zwei beliebige kleine Kreise dar, wobei der unterste Kreis etwas zu groß geraten ist. Bitte ermittle konkret den r2. Also r1(der erste kleine Kreis) ist 0,1547. Mir ist das bis jetzt nicht gelungen.
Gruß, Ferma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
[mm] r_2 [/mm] = [mm] (\bruch{3}{11}-\bruch{4}{33}*\wurzel{3})*R
[/mm]
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 So 10.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Ferma und alle anderen, die an dieser Aufgabe brüten,
ich grüble noch, ob es nicht über ![[]](/images/popup.gif) Tangentenvierecke irgendwie eleganter geht. Man will ja letztlich möglichst nicht nur eine Rekursion [mm] r_n\to r_{n+1} [/mm] haben, sondern möglichst eine explizite Darstellung [mm] r_{n}=f(R,n).
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:21 So 10.02.2013 | | Autor: | Ferma |
Guten Morgen,
danke an alle Beteiligten!
Die Lösung ist eigentlich ganz einfach. Die 3 großen Kreise: R=1. Das Zentrum für r1(der größte kleine Kreis ist 2/3 der Höhe des gleichseitigen Dreieckes(Seite=2) ABC. Folglich ist r1=2/3(Wurzel(3)). Mit der Null-Linie oben auf der Seite von ABC wird der Abstand h angenommen. h=1/3(Wurzel(3))-r1.
Mit diesen jetzt bekannten Daten kann der r2 berechnet werden. Aus Dreieck OEC:( [mm] h-r2)^2+1^2=(r2+1)^2. [/mm] Daraus [mm] r2=h^2/(2(h+1))
[/mm]
Gruß Ferma
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 So 10.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
sehr gut, gratuliere.
Wenn du jetzt noch die Höhenlinien indizierst, etwa nach der oberen Tangente des jeweiligen Kreises beginnend mit [mm] h_0 [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] - 1 so ergibt sich doch offenbar die Rekursion [mm] h_{n+1} [/mm] = [mm] h_n [/mm] - [mm] 2r_{n+1}.
[/mm]
Weiter zeigt deine Herleitung [mm] r_2 [/mm] = [mm] \bruch{h_1^2}{2*(h_1+1)}, [/mm] das lässt sich leicht verallgemeinern zu [mm] r_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{h_n^2}{2*(h_n+1)}.
[/mm]
Somit wird [mm] h_{n+1} [/mm] zu [mm] h_{n+1} [/mm] = [mm] h_n [/mm] - [mm] 2*\bruch{h_n^2}{2*(h_n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{h_n}{h_n+1}.
[/mm]
Das wiederum führt auf [mm] r_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{h_n}{2}*h_{n+1}.
[/mm]
Die h-Rekursion lässt sich aber leicht lösen, es ist [mm] h_n [/mm] = [mm] \bruch{h_0}{n*h_0+1} [/mm] und somit ist auch die r-Rekursion gelöst.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 So 10.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Sax,
sehr schön.
Das habe ich gestern Abend gesucht und nicht mehr gefunden.
Gratuliere!
Grüße
reverend
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