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| Aufgabe | Im [mm] $\IR^{3}$ [/mm] seien die Basen
[mm] $a=(\vektor{1 \\ -1 \\ 2},\vektor{2 \\ 3 \\ 7},\vektor{2 \\ 3 \\ 6})$ [/mm] und [mm] $b=(\vektor{1 \\ 2 \\ 2},\vektor{-1 \\ 3 \\ 3},\vektor{-2 \\ 7 \\ 6})$
[/mm]
gegeben.
(a) Wie lauten [mm] ${}_{e}\operatorname{id}_{a}$ [/mm] und [mm] ${}_{e}\operatorname{id}_{b}$?
[/mm]
(b) Berechnen Sie [mm] ${}_{a}\operatorname{id}_{e}$ [/mm] und daraus [mm] ${}_{a}\operatorname{id}_{b}$.
[/mm]
(c) Wie in (b) erhält man [mm] ${}_{b}\operatorname{id}_{e}=\pmat{ \bruch{3}{5} & 0 & \bruch{1}{5} \\ -\bruch{2}{5} & -2 & \bruch{11}{5} \\ 0 & 1 & -1 }$. [/mm] Überprüfen Sie dies und berechnen dann [mm] ${}_{b}\operatorname{id}_{a}$.
[/mm]
(d) Geben Sie den Koordinatenvektor von [mm] $b_{3}$ [/mm] bezüglich [mm] $a_{}$ [/mm] an und schreiben Sie [mm] $a_{1}$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $b_{1},b_{2},b_{3}$.
[/mm]
(e) Sei nun [mm] $f:\IR^{3}\to\IR^{3}$ [/mm] linear mit [mm] $f(a_{i})=b_{i},i=1,2,3$. [/mm] Wie lautet [mm] ${}_{b}f_{a}$? [/mm] Berechnen Sie [mm] $A\in\IR^{3\times3}$, [/mm] so dass $f(x)=Ax$ für alle [mm] $x\in\IR^{3}$. [/mm] |
Hallo.
Da ich aus dem Skript leider nicht schlau werde, möchte ich dieses Thema anhand dieser Aufgabe lernen.
Vorneweg:
Die hier vorliegende Aufgabe ist anscheinend ähnlich zu der gestrigen Aufgabe:
https://matheraum.de/read?t=671325
Für die Beantwortung der folgenden Fragen wäre ich sehr dankbar:
Handelt es sich bei dem Konstrukt [mm] ${}_{e}\operatorname{id}_{a}$ [/mm] um die darstellende Matrix oder meint das "id" die Identität?
Zur Teilaufgabe (a):
Die Aufgabe müsste doch mit diesem System zu lösen sein; allerdings habe ich doch dann zwei Unbekannte (A', welches gesucht ist) und A?
[mm] $Aa_{1}=A'_{11}e_{1}+A'_{21}e_{2}+A'_{31}e_{3}$
[/mm]
[mm] $Aa_{2}=A'_{12}e_{1}+A'_{22}e_{2}+A'_{32}e_{3}$
[/mm]
[mm] $Aa_{3}=A'_{13}e_{1}+A'_{23}e_{2}+A'_{33}e_{3}$
[/mm]
Zur Teilaufgabe (b):
Lässt sich das nach dem obigen System lösen?
Was genau wird in der Lösung gemacht?
Zur Teilaufgabe (c):
Was wird hier eigentlich verlangt?
Teilaufgabe (d) und (e) lasse ich, denn die wurden als "nicht wichtig" bezeichnet...
Gruß
el_grecco
Musterlösung:
(a) [mm] ${}_{e}\operatorname{id}_{a}=\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 6 },{}_{e}\operatorname{id}_{b}=\pmat{ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 2 & 3 & 6 }$
[/mm]
(b) Durch Gauß-Jordan-Elimination erhält man
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 6 & 0 & 0 & 1 }\sim\pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{3}{5} & -\bruch{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\bruch{12}{5} & -\bruch{2}{5} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{3}{5} & -1 }$
[/mm]
und damit [mm] ${}_{a}\operatorname{id}_{e}=({}_{e}\operatorname{id}_{a})^{-1}=\pmat{ \bruch{3}{5} & -\bruch{2}{5} & 0 \\ -\bruch{12}{5} & -\bruch{2}{5} & 1 \\ \bruch{13}{5} & \bruch{3}{5} & -1 }$.
[/mm]
Somit ist [mm] ${}_{a}\operatorname{id}_{b}=({}_{a}\operatorname{id}_{e})({}_{e}\operatorname{id}_{b})=\pmat{ -\bruch{1}{5} & -\bruch{9}{5} & -4 \\ -\bruch{6}{5} & \bruch{21}{5} & 8 \\ \bruch{9}{5} & -\bruch{19}{5} & -7 }$
[/mm]
(c) Man überprüft, dass [mm] $({}_{b}\operatorname{id}_{e})({}_{e}\operatorname{id}_{b})=E_{3}$ [/mm] oder [mm] $({}_{e}\operatorname{id}_{b})({}_{b}\operatorname{id}_{e})=E_{3}$.
[/mm]
Somit ist [mm] ${}_{b}\operatorname{id}_{a}=({}_{b}\operatorname{id}_{e})({}_{e}\operatorname{id}_{a})=\pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 }$.
[/mm]
(d) [mm] ${}_{a}(b_{3})=({}_{a}\operatorname{id}_{b})_{\*3}=\vektor{-4 \\ 8 \\ 7}$, [/mm] die dritte Spalte von [mm] ${}_{a}\operatorname{id}_{b}$.
[/mm]
[mm] ${}_{b}(a_{1})=({}_{b}\operatorname{id}_{a})_{\*1}\vektor{1 \\ 6 \\ -3}$. [/mm] Somit ist [mm] $a_{1}=b_{1}+6b_{2}-3b_{3}$.
[/mm]
(e) [mm] ${}_{b}f_{a}=E_{3}$, [/mm] da [mm] $({}_{b}f_{a})e_{i}=({}_{b}f_{a})({}_{a}(a_{i}))={}_{b}(f(a_{i}))={}_{b}(b_{i})=e_{i}$.
[/mm]
[mm] ${}_{e}f_{e}=({}_{e}\operatorname{id}_{b})({}_{b}f_{a})({}_{a}\operatorname{id}_{e})=\pmat{ -\bruch{11}{5} & -\bruch{6}{5} & 1 \\ \bruch{61}{5} & \bruch{11}{5} & -4 \\ \bruch{48}{5} & \bruch{8}{5} & -3 }$
[/mm]
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> Im [mm]\IR^{3}[/mm] seien die Basen
>
> [mm]a=(\vektor{1 \\ -1 \\ 2},\vektor{2 \\ 3 \\ 7},\vektor{2 \\ 3 \\ 6})[/mm]
> und [mm]b=(\vektor{1 \\ 2 \\ 2},\vektor{-1 \\ 3 \\ 3},\vektor{-2 \\ 7 \\ 6})[/mm]
>
> gegeben.
>
> (a) Wie lauten [mm]{}_{e}\operatorname{id}_{a}[/mm] und
> [mm]{}_{e}\operatorname{id}_{b}[/mm]?
> (b) Berechnen Sie [mm]{}_{a}\operatorname{id}_{e}[/mm] und daraus
> [mm]{}_{a}\operatorname{id}_{b}[/mm].
>
> (c) Wie in (b) erhält man
> [mm]{}_{b}\operatorname{id}_{e}=\pmat{ \bruch{3}{5} & 0 & \bruch{1}{5} \\ -\bruch{2}{5} & -2 & \bruch{11}{5} \\ 0 & 1 & -1 }[/mm].
> Überprüfen Sie dies und berechnen dann
> [mm]{}_{b}\operatorname{id}_{a}[/mm].
>
> (d) Geben Sie den Koordinatenvektor von [mm]b_{3}[/mm] bezüglich
> [mm]a_{}[/mm] an und schreiben Sie [mm]a_{1}[/mm] als Linearkombination von
> [mm]b_{1},b_{2},b_{3}[/mm].
> (e) Sei nun [mm]f:\IR^{3}\to\IR^{3}[/mm] linear mit
> [mm]f(a_{i})=b_{i},i=1,2,3[/mm]. Wie lautet [mm]{}_{b}f_{a}[/mm]? Berechnen
> Sie [mm]A\in\IR^{3\times3}[/mm], so dass [mm]f(x)=Ax[/mm] für alle
> [mm]x\in\IR^{3}[/mm].
> Hallo.
> Da ich aus dem Skript leider nicht schlau werde, möchte
> ich dieses Thema anhand dieser Aufgabe lernen.
>
> Vorneweg:
> Die hier vorliegende Aufgabe ist anscheinend ähnlich zu
> der gestrigen Aufgabe:
> https://matheraum.de/read?t=671325
>
>
> Für die Beantwortung der folgenden Fragen wäre ich sehr
> dankbar:
>
> Handelt es sich bei dem Konstrukt
> [mm]{}_{e}\operatorname{id}_{a}[/mm] um die darstellende Matrix oder
> meint das "id" die Identität?
Hallo,
beides...
[mm] _{e}\operatorname{id}_{a} [/mm] steht für die darstellende Matrix der Identität bzgl. der Basen a (im Startraum) und e (im Zielraum).
Was tut diese Matrix? Sie wandelt Vektoren, die in Koordinaten bzgl a gegeben sind, in solche bzgl e um.
Es ist [mm] \vektor{1\\2\\3}_{(a)}= $1*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}_{(e)}+2*\vektor{2 \\ 3 \\ 7}_{(e)}+3*\vektor{2 \\ 3 \\ 6}_{(e)}$= \vektor{...\\...\\...}_{(e)} [/mm] $(kannst Du Dir selbst ausrechnen.),
und dies müßte das Ergebnis der Multiplikation der Matrix mit [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] sein.
Kochrezept:
Merke: in der Matrix [mm] _Dg_C [/mm] stehen in den Spalten die Bilder der Basisvektoren von C unter der Abbildung g in Koordinaten bzgl D.
Also: in der Matrix [mm] _{e}\operatorname{id}_{a} [/mm] stehen in den Spalten die Bilder der Basisvektoren von a unter der Abbildung id in Koordinaten bzgl e.
Beim Aufstellen der Matrix wirst Du merken, daß man diese Matrix sehr leicht aufstellen kann.
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> Zur Teilaufgabe (a):
>
> Die Aufgabe müsste doch mit diesem System zu lösen sein;
> allerdings habe ich doch dann zwei Unbekannte (A', welches
> gesucht ist) und A?
Wenn Du es als LGS aufschreiben willst, dann heißt das LGS so:
[mm] A*\vektor{1\\0\\0}_{(a)}=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}_{(e)},
[/mm]
die anderen beiden entsprechend.
Möglicherweise sind Dir "Koordinatenvektoren" überhaupt noch nicht klar:
wenn ich eine Basis [mm] C:=(c_1, c_2, c_3) [/mm] habe, dann ist [mm] c_1=\vektor{1\\0\\0}_{(C)}, [/mm] denn es ist [mm] c_1=1*c_1+0*c_2+0*c_3.
[/mm]
Ich höre hier jetzt erstmal auf.
Du müßtest mit diesen Hinweisen (in Kombination mit Nachdenken- und -lesen) Aufgabe a. sicher und eigentlich auch Aufgabe b. lösen können.
Mach Dir am besten zuerst das klar, was ich zuletzt erwähnt habe: die Koordinatenvektoren.
Gruß v. Angela
> Zur Teilaufgabe (b):
> Lässt sich das nach dem obigen System lösen?
> Was genau wird in der Lösung gemacht?
>
> Zur Teilaufgabe (c):
> Was wird hier eigentlich verlangt?
>
> Teilaufgabe (d) und (e) lasse ich, denn die wurden als
> "nicht wichtig" bezeichnet...
>
> Gruß
> el_grecco
>
>
> Musterlösung:
>
> (a) [mm]{}_{e}\operatorname{id}_{a}=\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 6 },{}_{e}\operatorname{id}_{b}=\pmat{ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 2 & 3 & 6 }[/mm]
>
> (b) Durch Gauß-Jordan-Elimination erhält man
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 6 & 0 & 0 & 1 }\sim\pmat{ 1 & 0 & 0 & \bruch{3}{5} & -\bruch{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\bruch{12}{5} & -\bruch{2}{5} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{3}{5} & -1 }[/mm]
>
> und damit
> [mm]{}_{a}\operatorname{id}_{e}=({}_{e}\operatorname{id}_{a})^{-1}=\pmat{ \bruch{3}{5} & -\bruch{2}{5} & 0 \\ -\bruch{12}{5} & -\bruch{2}{5} & 1 \\ \bruch{13}{5} & \bruch{3}{5} & -1 }[/mm].
>
> Somit ist
> [mm]{}_{a}\operatorname{id}_{b}=({}_{a}\operatorname{id}_{e})({}_{e}\operatorname{id}_{b})=\pmat{ -\bruch{1}{5} & -\bruch{9}{5} & -4 \\ -\bruch{6}{5} & \bruch{21}{5} & 8 \\ \bruch{9}{5} & -\bruch{19}{5} & -7 }[/mm]
>
> (c) Man überprüft, dass
> [mm]({}_{b}\operatorname{id}_{e})({}_{e}\operatorname{id}_{b})=E_{3}[/mm]
> oder
> [mm]({}_{e}\operatorname{id}_{b})({}_{b}\operatorname{id}_{e})=E_{3}[/mm].
>
> Somit ist
> [mm]{}_{b}\operatorname{id}_{a}=({}_{b}\operatorname{id}_{e})({}_{e}\operatorname{id}_{a})=\pmat{ 1 & \bruch{13}{5} & \bruch{12}{5} \\ 6 & \bruch{43}{5} & \bruch{32}{5} \\ -3 & -4 & -3 }[/mm].
>
> (d)
> [mm]{}_{a}(b_{3})=({}_{a}\operatorname{id}_{b})_{\*3}=\vektor{-4 \\ 8 \\ 7}[/mm],
> die dritte Spalte von [mm]{}_{a}\operatorname{id}_{b}[/mm].
>
> [mm]{}_{b}(a_{1})=({}_{b}\operatorname{id}_{a})_{\*1}\vektor{1 \\ 6 \\ -3}[/mm].
> Somit ist [mm]a_{1}=b_{1}+6b_{2}-3b_{3}[/mm].
>
> (e) [mm]{}_{b}f_{a}=E_{3}[/mm], da
> [mm]({}_{b}f_{a})e_{i}=({}_{b}f_{a})({}_{a}(a_{i}))={}_{b}(f(a_{i}))={}_{b}(b_{i})=e_{i}[/mm].
>
> [mm]{}_{e}f_{e}=({}_{e}\operatorname{id}_{b})({}_{b}f_{a})({}_{a}\operatorname{id}_{e})=\pmat{ -\bruch{11}{5} & -\bruch{6}{5} & 1 \\ \bruch{61}{5} & \bruch{11}{5} & -4 \\ \bruch{48}{5} & \bruch{8}{5} & -3 }[/mm]
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Danke für die Geduld und für die Erklärung, Angela.
Vielleicht klammere ich mich an zu kleinen Details fest, sodass ich nicht weiterkomme.
Ich habe mir das System aus Teilaufgabe (b) der gestrigen Aufgabe (https://matheraum.de/read?t=671325) eingeprägt.
Stur wie ich bin, möchte ich dieses System auch hier anwenden:
[mm] $Aa_{1}=A'_{11}e_{1}+A'_{21}e_{2}+A'_{31}e_{3}$
[/mm]
[mm] $Aa_{2}=A'_{12}e_{1}+A'_{22}e_{2}+A'_{32}e_{3}$
[/mm]
[mm] $Aa_{3}=A'_{13}e_{1}+A'_{23}e_{2}+A'_{33}e_{3}$
[/mm]
In der Teilaufgabe (a) der jetzigen Aufgabe ist doch das A' gesucht?
In Deinem System fehlt aber dieses A':
> Wenn Du es als LGS aufschreiben willst, dann heißt das LGS
> so:
>
> [mm]A*\vektor{1\\0\\0}_{(a)}=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}_{(e)},[/mm]
>
> die anderen beiden entsprechend.
Hoffe ich konnte meine Verständnisschwierigkeit klar zum Ausdruck bringen.
Gruß
el_grecco
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> Ich habe mir das System aus Teilaufgabe (b) der gestrigen
> Aufgabe
Hallo,
die Aufgabe von gestern war etwas anders gelagert:
Du hattest dort eine lineare Abbildung f bereits mit ihrer darstellenden Matrix [mm] A=_{E_3}f_{E_4} [/mm] gegeben.
[mm] (E_3 [/mm] und [mm] E_4 [/mm] stehen hier für die beiden Standardbasen.)
Weil Du die Funktionswerte der [mm] b_i [/mm] suchtest, also [mm] f(b_i), [/mm] war dort nach Def. der Funktionsvorschrift zu rechnen [mm] f(b_i)= Ab_i= [/mm] ... (Darstellung als Linearkombination der [mm] c_j).
[/mm]
Erinnere Dich: in den Spalten der darstellenden Matrix von f bzgl. der Basen B (im Startraum) und C (im Zielraum) stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. C. (ich wiederhole mich, nicht wahr? Ich tue das, weil dieser Spruch einen gelegentlich retten kann, wenn man nichts mehr weiß. Andere Leute beten ein Vaterunser.)
Genau das würde gestern getan: die Funktionswerte der [mm] b_i [/mm] wurden als Linearkombination der [mm] c_j [/mm] ausgedrückt, und wenn die Koeffizienten "gestapelt" werden, hat man den Koordinatenvektor des Bildes von [mm] b_i [/mm] bzgl der Basis C.
> (https://matheraum.de/read?t=671325) eingeprägt.
> Stur wie ich bin, möchte ich dieses System auch hier
> anwenden:
Gut.
Wenn Du das unbedingt willst, brauchst Du erst die darstellende Matrix von id bzgl der Standardbasis - was keine Kunst ist:
[mm] _eid_e=Einheitsmatrix, [/mm] was kein echtes Wunder ist. (Prüfe den Spruch auch an diesem Beispiel)
Damit bekommst Du das Gleichungssystem
[mm](_eid_ea_{1})a_1=A'_{11}e_{1}+A'_{21}e_{2}+A'_{31}e_{3}[/mm]
[mm]a_{2}=A'_{12}e_{1}+A'_{22}e_{2}+A'_{32}e_{3}[/mm]
[mm]a_{3}=A'_{13}e_{1}+A'_{23}e_{2}+A'_{33}e_{3}[/mm]
Du mußt also die [mm] a_i [/mm] als Linearkombinationen der Basisvektoren von e schreiben und bekommst hieraus das, was Du gerne A' nennen möchtest, also [mm] _eid_a
[/mm]
>
> In der Teilaufgabe (a) der jetzigen Aufgabe ist doch das A'
> gesucht?
Ja.
Hinweis: die Matrizen [mm] _Did_C [/mm] sind Basistransformationsmatrizen. Sie wandeln Dir Vektoren, die bzgl der Basis C gegen sind, in Vektoren bzgl der Basis D um.
Für die Anschauung: die Pfeile als solche bleiben gleich. Denk Dir, daß das Koordinatensystem verändert wird und ein und derselbe Pfeil bezgl verschiedener Koordinatensysteme beschrieben wird.
Gruß v. Angela
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