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Dreieck, Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 So 23.04.2006
Autor: dazivo

Aufgabe
Es sei a die Hypotenuse, b,c die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.
Beweise, dass [mm] $a^{n}>b^{n}+c^{n}, [/mm] n [mm] \in \IN_{\geq 3}$ [/mm]

Hätte jemand eine Idee bzw. einen Ansatz, wie man das beweisen könnte.
Habs mit diversen Methoden ausprobiert, bin aber kläglich gescheitert.

        
Bezug
Dreieck, Ungleichung: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 So 23.04.2006
Autor: pi-roland

Hallo!

Man könnte sich doch folgende Funktion definieren: [mm] $f(n)=b^n+c^n-a^n$ [/mm]
Für $n=1$ erhält man die Dreiecksungleichung (also $f(1)>0$), für $n=2$ weiß man, dass $f(2)=0$ gilt (Satz des Pythagoras). Wenn man nun noch nachweisen kann, dass die Funktion streng monoton ist, wäre doch schon alles gezeigt, oder?

Soviel zu meinen Ideen...
Schönen Tag noch,



Roland.

Bezug
                
Bezug
Dreieck, Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 So 23.04.2006
Autor: dazivo

Hallo!

Welche Bedignung muss dann erfüllt sein? Was ist das eigentlich für eine Folge? Ich kann nur die Monotonie von arithmetischen und geometrischen Folgen bestimmen...

Bezug
                        
Bezug
Dreieck, Ungleichung: So z. B.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Di 25.04.2006
Autor: statler

Hallo!

Bei dir ist a die Hypotenuse, b und c sind die Katheten. Dann ist a die längste Seite und b und c kann ich der Größe nach sortieren und ggfs. umbenennen, so daß a > b [mm] \ge [/mm] c > 0 gilt.

Wegen Pythagoras [mm] a^{2} [/mm] = [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} [/mm] gilt dann für n = 3 bereits
[mm] a^{3} [/mm] =  [mm] a*a^{2} [/mm] = [mm] a*b^{2} [/mm] + [mm] a*c^{2} [/mm] > [mm] b*b^{2} [/mm] + [mm] b*c^{2} [/mm] = [mm] b^{3} [/mm] + [mm] b*c^{2} \ge b^{3} [/mm] + [mm] c*c^{2} [/mm] = [mm] b^{3} [/mm] + [mm] c^{3}. [/mm]

Das kann ich jetzt als Induktionsanfang nehmen und dann den Induktionsschluß genauso aufbauen. Fertich!

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                                
Bezug
Dreieck, Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 So 30.04.2006
Autor: dazivo

Wow!! Danke vielmals, wunderschöner Beweis!

Bezug
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