Dreieck alles was geht < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Freunde,
Mein Thema ist: Dreiecksberechnung, alles was möglich ist mit Vektorberechnung.
Ich weiss das ist ein bischen sehr allgemein, aber so ist die Aufgabe -.- Es handelt sich hierbei um eine Hausaufgabe über eine Woche.
Also fangen wir damit an, ich habe mir das folgende Dreieck ausgesucht:
A $ [mm] =\vektor{-1 \\ 1\\-1} [/mm] $ , B = $ [mm] \vektor{2 \\ 7\\-4} [/mm] $ und C = $ [mm] \vektor{5 \\ -21\\3} [/mm] $
Skizze (nicht maßstabsgetreu)
[Externes Bild http://www.pissortisch.de/skizze.bmp]
Habe berechnet:
$ [mm] \vec{a}=\vec{BC} =\vektor{2 \\ 7\\-4}+z \vektor{3 \\ -28\\7}; \vec{b}=\vec{AC} =\vektor{-1 \\ 1\\-1}+y \vektor{6 \\ -22\\4}; \vec{c}=\vec{BA} =\vektor{ 2\\ 7\\-4}+x \vektor{-3 \\ -6\\3} [/mm] $
Punkt D = $ [mm] \vektor{ \bruch{7}{2}\\ 7\\ -\bruch{1}{2}} [/mm] $
OK, das ist nicht viel, aber es ist doch schonmal ein Anfang, nicht wahr?
Was kann man denn noch berechnenen? Und vor allem wie macht man das ?
Danke schonmal im Vorraus
Der Fabi
P.S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Pommes |
Also, ich weiß ja nicht, was ihr so unter Dreiecksberechnung versteht, aber ich würde z.B. noch die Beträge der Vektoren ausrechnen, die Winkel, den Flächeninhalt ...
Gruß, Thoas
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ok, also die Beträge der Vektoren berechne ich folgendermaßen:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overline{AB} [/mm] = B - A = [mm] \pmat{ 3 \\ 6 \\ -3 }
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \overline{BC} [/mm] = C - B = [mm] \pmat{ 3 \\ -28 \\ 7 }
[/mm]
[mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \overline{CA} [/mm] = A - C = [mm] \pmat{ -6 \\ 22 \\ -4 }
[/mm]
ist das richtig?
Wie berechne ich nun die Winkel beziehungsweise den Flächeninhalt?
Vielen Dank
Fabi
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Du hast bis jetzt die Vektoren selber berechnet; unter "Betrag" versteht man die Länge der jeweiligen Vektoren.
Wenn man einen Vektor hat: [mm]\vec{x}=\vektor{a \\ b \\ c}[/mm], dann bestimmt man seinen Betrag über den "Vektor-Pythagoras":
[mm]|\vec{x}|=\wurzel{a^2+b^2+c^2}[/mm].
Für die Innenwinkel: will man den Winkel zwischen zwei Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm], so gilt:
[mm]cos(\phi)=\bruch{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}[/mm].
Wichtig: im Zähler steht der Betrag einer Zahl (diese ergibt sich aus dem Skalarprodukt), und im Nenner das Produkt aus zwei Beträgen (also Vektorlängen).
Wegen dem Flächeninhalt: hattet ihr die Formel schon, bei der man mit Hilfe des Kreuzproduktes den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen kann?
Wenn [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] zwei der Vektoren sind, die das Dreieck aufspannen, so erhält man den Flächeninhalt aus:
[mm]A=\bruch{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}|[/mm]
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jap diese Formel hatten wir schon, hab das aber nicht so richtig verstanden, wie man das macht -.-
desweiteren lässt sich doch der Innenkreis, der Außenkreis, die Winkelhalbierende, die Mittelsenkrechte und der Normalenvektor berechnen oder?
ich weiss leider garnicht mehr wie das geht.....
alles ein bischen lange her bei mir
bitte helft mir
Fabi
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Erstmal zur Berechnung des Kreuzproduktes (auch "Vektorprodukt" genannt):
[mm]\vektor{a \\ b \\ c} \times \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{bz-cy \\ cx-az \\ ay-bx}[/mm]
Davon brauchst du dann nur noch den Betrag, durch 2 dividieren, und fertig ist der Flächeninhalt.
Beispiel: Mit den Eckpunkten A(1/2/3), B(-5/10/1) und C(2/0/-4) ergeben sich erstmal die Verbindungsvektoren [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{-6 \\ 8 \\ -2}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}=\vektor{1 \\ -2 \\ -7}[/mm]
Nun das Kruezprodukt der beiden Vektoren:
[mm]\vektor{-6 \\ 8 \\ -2} \times \vektor{1 \\ -2 \\ -7}=\vektor{8 \cdot (-7) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 1 - (-6) \cdot (-7) \\ (-6) \cdot (-2) - 8 \cdot 1}=\vektor{-60 \\ -44 \\ 4}[/mm]
Der Betrag davon ist: [mm]\wurzel{(-60)^2+(-44)^2+4^2} \approx 74,51[/mm]
Und somit wäre der Flächeninhalt in diesem Beispiel etwa 37,26.
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Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Der Umkreis ("Außenkreis" hab ich noch nie gehört) ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Normalenvektor des Dreiecks: hier kannst du die Eckpunkte des Dreiecks so sehen, dass sie eine Ebene aufspannen. [mm]\overrightarrow{OA}[/mm] wäre dann der Stützvektor, [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] wären z.B. die Richtungsvektoren.
Um einen Vektor zu bekommen, der senkrecht auf das Dreieck steht, brauchst du einen Vektor, der senkrecht zu zwei der Richtungsvektoren steht, also hier zu [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] - mit [mm]\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}[/mm] ergibt dann einen Vektor, der senkrecht zu beiden steht (mach die Probe mit dem Skalarprodukt: [mm]\vec{a}[/mm] senkrecht [mm]\vec{b}[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]\vec{a} \cdot \vec{b} = 0[/mm]).
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