Dreieck als Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Anna_M |
Eigentlich wollte ich das heute meinen Mathelehrer fragen, aber er meinte, ihm sei plötzlich sehr schlecht geworden und so hat er sogar seinen Unterricht abgebrochen und meinte sogar, dass er möglicherweise Morgen nicht zu unserer Klausur kommt... Oo
Jedenfalls habe ich fleißig geübt, komme aber bei einigen etwas schwierigeren Aufgaben, die wir so im Unterricht nicht geübt haben, nicht weiter...
Es geht bei dieser Aufgabe um die Berechnung des Skalarproduktes...
Wir haben die Gleichung der Dreieck-Ebene gegeben.
Um die Sache für mich zu erleichtern fange ich mit 10 b) an.
(4/-3/0) und (-4/0/7) sind Spannvektoren der Ebene, d.h. zwei der Seiten in Form von Vektoren?
Könnte man dann die Länge der Seiten ausrechnen, also bei (4/-3/0)
--> Betrag des Vektors a = Wurzel aus der Summe von [mm] (4^2 [/mm] + [mm] (-3)^2 [/mm] + 0) = 25 ?
Was ist mit der dritten Ecke des Dreiecks?
Vor allem habe ich irgendwie doch das Gefühl, dass mein Ansatz falsch ist, da die Ebene ja in einem dreidimensionalen Raum liegt und außerdem ist sicherlich noch wichtig, dass A, B und C jeweils eine der Koordinatenachsen schneiden...
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Mein Lehrer wollte oder konnte das ja nicht und bis Morgen wollte ich das erfahren, weshalb ich das nicht so kurzfristig noch hier fragen wollte...
Also danke im voraus für euer Verständnis und eure Mühe. :)
Schöne Grüße,
Anna.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Di 14.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zu 10a
Wenn ich das Richtig verstehe, suchst du die Schnittwinkel der Seiten und die Länge.
Wenn du die Ebene in Koordinatenform - wie ja hier - gegeben hast, kannst du die Schnitttpunkte mi den Achsen relativ
schnell ermitteln.
Dazu teile mal deine Koordinatenform durch das d, also hier durch 30.
Dann steht da:
3x+5y+4z=30
[mm] \gdw\bruch{3}{30}x+\bruch{5}{30}y+\bruch{4}{30}z=1
[/mm]
[mm] \gdw\underbrace{\bruch{1}{10}}_{x_{s}}x+\underbrace{\bruch{1}{6}}_{y_{s}}y+\underbrace{\bruch{2}{15}}_{z_{s}}z=1
[/mm]
Dann gilt für die Schnittpunkte mit den Achsen:
x-Achse: [mm] \vec{s_{x}}=\vektor{\bruch{1}{x_{s}}\\0\\0}=\vektor{10\\0\\0}
[/mm]
y-Achse: [mm] \vec{s_{y}}=\vektor{0\\\bruch{1}{y_{s}}\\0}=\vektor{0\\6\\0}
[/mm]
z-Achse: [mm] \vec{s_{z}}=\vektor{0\\0\\\bruch{1}{z_{s}}}=\vektor{0\\0\\\bruch{15}{2}}
[/mm]
Damit kannst du jetzt die Schnittwinkel und die Seitenlängen berechnen.
Zu 10b
Hier brauchst du erstmal die Koordinatenform der Ebene.
Dazu berechnest du zuerst mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren den Normalenvektor.
Def. Kreuzprodukt.[img][mm] 1[\img]
[/mm]
Also hier.
[mm] \vec{n}=\vektor{4\\-3\\0}\times\vektor{-4\\0\\7}=\vektor{-21\-28\-12}
[/mm]
Das d deiner Koordinatenform berechnest du aus dem Skalarprodukt von [mm] \vec{n} [/mm] und dem Stützvektor der Ebene:
Also [mm] d=\vektor{-21\\-28\\12}*\vektor{12\\15\\14}=-504
[/mm]
Das heisst, deine Ebene in Normalenform ist:
[mm] \vektor{-21\\-28\\12}*\vektor{x\\y\\z}=-504
[/mm]
und damit ist die Koordinatenform:
-21x-28y+12z=-504
[mm] \gdw \bruch{1}{24}x+\bruch{1}{18}y-\bruch{1}{42}z=1
[/mm]
Jetzt kannst du die Schnittpunkte mit den Achsen wie in a) bestimmen, und daraus die Schnittwinkel und Seitenlängen
Kommst du jetzt weiter?
Marius
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