Dreieck berechnen mit Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch die drei Punkte A = (1; 4; -2 ), B = (3; 1; 0) und C = ( -1 ; 1; 2) wird
ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Lange der drei Seiten, die Innenwinkel im Dreieck sowie den Flacheninhalt . |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit der oben genannten Aufgabe habe ich mehrere Probleme. Und zwar bekomme ich bei der Berechnung der Innenwinklen egal wie ich es drehe und wende keinen korrekten Wert für den Winkel Beta raus. Die Längen der Seiten, die ich berechnet habe, sind anhand der mir vorliegenden lösungen korrekt, die Winkel Alpha und Gamma bekomme ich ebenfalls korrekt raus, aber bei Beta haperts immer. Ich krieg da immer ca 102° raus, statt 77°. Klar, ich könnte einfach 180 - alpha - gamma rechnen und fertig, aber ich verstehe nicht, warum der Beta Wert bei mir immer falsch rauskommt. Verrechne ich mich immer gleich? Ich werd noch kirre.
Vorgegebene Lösungen:
|vec{a}| = [mm] \wurzel{20}
[/mm]
|vec{b}| = [mm] \wurzel{29}
[/mm]
|vec{c}| = [mm] \wurzel{17}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 54,16°
[mm] \beta [/mm] = 77,47°
[mm] \gamma [/mm] = 48,37°
A = 9 FE
Ich habe zuerst die Länge der einzelnen Seiten des Dreiecks berechnet:
[mm] |\vec{a}| [/mm] = [mm] |\overline{BC}| [/mm] = [mm] |\vec{C} [/mm] - [mm] \vec{B}| [/mm] = [mm] \vmat{ \vektor{-4 \\ 0 \\ 2} } =\wurzel{20}
[/mm]
[mm] |\vec{b}| [/mm] = [mm] |\overline{AC}| [/mm] = [mm] |\vec{C} [/mm] - [mm] \vec{A}| [/mm] = [mm] \vmat{ \vektor{-2 \\ -3 \\ 4} } [/mm] = [mm] \wurzel{29}
[/mm]
[mm] |\vec{c}| [/mm] = [mm] |\overline{AB}| [/mm] = [mm] |\vec{B} [/mm] - [mm] \vec{A}| [/mm] = [mm] \vmat{ \vektor{2 \\ -3 \\ 2} } [/mm] = [mm] \wurzel{17}
[/mm]
Soweit so gut. Jetzt also zu den Innenwinkeln des Dreiecks, da habe ich folgendes:
[mm] \alpha [/mm] = arccos [mm] \bruch{\overline{AB} * \overline{AC}}{|\overline{AB}| * |\overline{AC}|} [/mm] = arccos [mm] \bruch{13}{|\wurzel{17}| * |\wurzel{29}|} [/mm] = 54,16°
[mm] \gamma [/mm] = arccos [mm] \bruch{\overline{BC} * \overline{AC}}{|\overline{BC}| * |\overline{AC}|} [/mm] = arccos [mm] \bruch{16}{|\wurzel{20}| * |\wurzel{29}|} [/mm] = 48,37°
[mm] \beta [/mm] = arccos [mm] \bruch{\overline{AB} * \overline{BC}}{|\overline{AB}| * |\overline{BC}|} [/mm] = arccos [mm] \bruch{-4}{|\wurzel{17}| * |\wurzel{20}|} [/mm] = 102,53°
Ich krieg den Wert immer falsch raus. Kriegt ihr was anderes als -4 für [mm] \overline{AB} [/mm] * [mm] \overline{BC} [/mm] raus?
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Hallo AndrThadk,
> Durch die drei Punkte A = (1; 4; -2 ), B = (3; 1; 0) und C
> = ( -1 ; 1; 2) wird
> ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Lange der drei
> Seiten, die Innenwinkel im Dreieck sowie den Flacheninhalt
> .
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mit der oben genannten Aufgabe habe ich mehrere Probleme.
> Und zwar bekomme ich bei der Berechnung der Innenwinklen
> egal wie ich es drehe und wende keinen korrekten Wert für
> den Winkel Beta raus. Die Längen der Seiten, die ich
> berechnet habe, sind anhand der mir vorliegenden lösungen
> korrekt, die Winkel Alpha und Gamma bekomme ich ebenfalls
> korrekt raus, aber bei Beta haperts immer. Ich krieg da
> immer ca 102° raus, statt 77°. Klar, ich könnte einfach
> 180 - alpha - gamma rechnen und fertig, aber ich verstehe
> nicht, warum der Beta Wert bei mir immer falsch rauskommt.
> Verrechne ich mich immer gleich? Ich werd noch kirre.
>
> Vorgegebene Lösungen:
> |vec{a}| = [mm]\wurzel{20}[/mm]
> |vec{b}| = [mm]\wurzel{29}[/mm]
> |vec{c}| = [mm]\wurzel{17}[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] = 54,16°
> [mm]\beta[/mm] = 77,47°
> [mm]\gamma[/mm] = 48,37°
> A = 9 FE
>
> Ich habe zuerst die Länge der einzelnen Seiten des
> Dreiecks berechnet:
>
> [mm]|\vec{a}|[/mm] = [mm]|\overline{BC}|[/mm] = [mm]|\vec{C}[/mm] - [mm]\vec{B}|[/mm] = [mm]\vmat{ \vektor{-4 \\ 0 \\ 2} } =\wurzel{20}[/mm]
>
> [mm]|\vec{b}|[/mm] = [mm]|\overline{AC}|[/mm] = [mm]|\vec{C}[/mm] - [mm]\vec{A}|[/mm] = [mm]\vmat{ \vektor{-2 \\ -3 \\ 4} }[/mm]
> = [mm]\wurzel{29}[/mm]
>
> [mm]|\vec{c}|[/mm] = [mm]|\overline{AB}|[/mm] = [mm]|\vec{B}[/mm] - [mm]\vec{A}|[/mm] = [mm]\vmat{ \vektor{2 \\ -3 \\ 2} }[/mm]
> = [mm]\wurzel{17}[/mm]
>
> Soweit so gut. Jetzt also zu den Innenwinkeln des Dreiecks,
> da habe ich folgendes:
>
> [mm]\alpha[/mm] = arccos [mm]\bruch{\overline{AB} * \overline{AC}}{|\overline{AB}| * |\overline{AC}|}[/mm]
> = arccos [mm]\bruch{13}{|\wurzel{17}| * |\wurzel{29}|}[/mm] =
> 54,16°
>
> [mm]\gamma[/mm] = arccos [mm]\bruch{\overline{BC} * \overline{AC}}{|\overline{BC}| * |\overline{AC}|}[/mm]
> = arccos [mm]\bruch{16}{|\wurzel{20}| * |\wurzel{29}|}[/mm] =
> 48,37°
>
Hier kommt zwar das richtige heraus.
Hier sind die Vektoren mit Bezugspunkt C zu nehmen:
[mm]\gamma = arccos \bruch{\overrightarrow{\blue{CB}} * \overrightarrow{\blue{CA}}}{|\overrightarrow{\blue{CB}}| * |\overrightarrow{\blue{CA}|}[/mm]
> [mm]\beta[/mm] = arccos [mm]\bruch{\overline{AB} * \overline{BC}}{|\overline{AB}| * |\overline{BC}|}[/mm]
> = arccos [mm]\bruch{-4}{|\wurzel{17}| * |\wurzel{20}|}[/mm] =
> 102,53°
>
> Ich krieg den Wert immer falsch raus. Kriegt ihr was
> anderes als -4 für [mm]\overline{AB}[/mm] * [mm]\overline{BC}[/mm] raus?
>
Hier ist der Vektor [mm]\overrightarrow{BA}[/mm] zu nehmen,
dann bekommst Du auch den richtigen Winkel heraus.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Fr 02.08.2013 | | Autor: | AndrThadk |
Danke, habs jetzt!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Fr 02.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Mathepower:
Warum rechnest Du [mm] \beta [/mm] nicht so aus:
$ [mm] \beta=$180° [/mm] $- [mm] \alpha- \gamma$ [/mm] ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Fr 02.08.2013 | | Autor: | AndrThadk |
Das habe ich ersatzweise gemacht, nur hatte mich gewundert, dass ich alpha und gamma richtig rausbekomme und beta nicht.
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