Dreieck im Halbkreis < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Di 17.01.2017 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Einem Halbkreis soll ein Dreieck mit möglichst großem Inhalt so einbeschrieben werden, dass eine Seite des Dreiecks auf dem Durchmesser des Halbkreises liegt. |
Hallo,
also für den Flächeninhalt der minimiert werden soll, gilt: A=1/2 gh.
Was mir allerdings nicht einfallen will, ist wie die Nebenbedingung lautet...
Für eure Hilfe wäre ich dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Di 17.01.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Bedenke, dass die Grundseite hier der Durchmesser ist, und, da das ein Thaleskreis ist, das Dreieck auf dem "Bogenpunkt" rechtwinklig ist. Daher gilt dann auch der Höhensatz des Euklid. Das führt zu [mm] h^{2}=pq, [/mm] und es gilt q=2r-p, also [mm] h^{2}=p\cdot(2r-p)
[/mm]
Also gilt
[mm] A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot\sqrt{p\cdot(2r-p)}=r\cdot\sqrt{2pr-p^{2}}
[/mm]
Diese Formel ist dann nur noch von einem der Hypotenusenabschnitte abhängig, der Radius des Kreises r ist ja fest.
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo, mal ohne Haupt- und Nebenbedingung und ohne Ableitung u.s.w.
[mm] A=\bruch{1}{2}*d*h_d
[/mm]
Die Grundseite des Dreiecks, der Durchmesser ist eine feste Größe, ebenso der Faktor [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] also kannst Du nur die Höhe verändern, mache Dir eine Skizze und überlege Dir, wann die Höhe maximal wird, wo liegt die Höhe also,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 17.01.2017 | | Autor: | rollroll |
Naja, wenn die Höhe gerade dem Radius entspricht oder?
Also wäre [mm] A=1/2*r*2r=r^2.
[/mm]
Aber auf dem Weg von M.Rex erhalte ich ein anderes Ergebnis (mit Wurzel(3))
|
|
|
| |
|
Hallo, die Höhe entspricht dem Radius, also verläuft die Höhe durch den Mittelpunkt des Kreises
[mm] A(p)=r*\wurzel{2*r*p-p^2}
[/mm]
[mm] A'(p)=\bruch{r*(2*r-2*p)}{2*\wurzel{2*r*p-p^2}}
[/mm]
1. Ableitung gleich Null setzen, also Zähler gleich Null setzen, nix mit Wurzel 3
Steffi
|
|
|
|
