Dreieck im R2 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Do 07.04.2011 | | Autor: | hilbert |
Hallo, ich habe folgende Aufgabe in der Topologie bekommen:
3 komplexe Zahlen [mm] z_1,z_2,z_3 [/mm] bilden ein gleichseitiges Dreieck [mm] \gdw z_1^2 [/mm] + [mm] z_2^2 [/mm] + [mm] z_3^2 [/mm] = [mm] z_1z_2 [/mm] + [mm] z_1z_3 [/mm] + [mm] z_2z_3
[/mm]
Leider komme ich weder bei der Hin noch bei der Rückrichtung gut vorran.
Einfacher wäre es das Dreieck auf dem Einheitskreis zu betrachten.
Hat jemand einen Ansatz für mich, dies allgemein zu lösen?
Schonmal vielen Dank im Voraus.
Meine Ideen bisher:
Die Stecken müssen übereinstimmen.
Also gilt:
[mm] z_2-z_1 [/mm] = [mm] z_3-z_2 [/mm] = [mm] z_3-z_1
[/mm]
Dies könnte man Quadrieren dann komme ich auf:
[mm] z_2^2 [/mm] - [mm] 2z_2z_1 [/mm] + [mm] z_1^2 [/mm] = [mm] z_3^2 [/mm] - [mm] 2z_3z_2 [/mm] + [mm] z_2^2 [/mm] = [mm] z_3^2 [/mm] - [mm] 2z_3z_1 [/mm] + [mm] z_1^2
[/mm]
Erste Gleichung:
Komme ich auf [mm] z_1^2 [/mm] - [mm] z_3^2 [/mm] = [mm] 2z_2z_1 [/mm] - [mm] 2z_3z_2
[/mm]
Wenn das überhaupt richtig ist, glaube ich, dass mir das nichts bringt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Do 07.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum nicht auf dem Einheitskreis, daraus auf kreis mit r, dann verschieben
oder den mittelpunkt des Umkreises vin z1z2z3 suchen und dann mit dem kreis hantieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Do 07.04.2011 | | Autor: | hilbert |
Okay, ich versuch es mal.
Also sagen wir ich verschiebe es erst irgendwie, sodass der Mittelpunkt auf dem Ursprung liegt. Dann kann ich es noch drehen damit eine Ecke auf dem Punkt P(1/0) liegt.
Jetzt weiß ich aber, dass ich 3 Punkte auf diesem Kreis suche, die alle den gleichen Abstand haben (Muss ich das beweisen?)
Kreis hat 360°, also liegen die Punkte 120° auseinander.
Mein erster Punkt liegt auf (1/0) also 0°.
[mm] z_2 [/mm] liegt also 120° weiter mit der Länge 1.
Also ist [mm] z_2 [/mm] = 1 * (cos 120 + i sin 120) = [mm] -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i
[/mm]
[mm] z_3 [/mm] ist demnach gleich [mm] -\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i
[/mm]
Dies sind aber die 3 Einheitswurzeln.
Dies in die Ausgangsgleichung eingesetzt ergibt 0 = 0.
Wie mache ich den Rest jetzt?
Vielen Dank schonmal
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> Okay, ich versuch es mal.
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> Also sagen wir ich verschiebe es erst irgendwie, sodass der
> Mittelpunkt auf dem Ursprung liegt. Dann kann ich es noch
> drehen damit eine Ecke auf dem Punkt P(1/0) liegt.
>
> Jetzt weiß ich aber, dass ich 3 Punkte auf diesem Kreis
> suche, die alle den gleichen Abstand haben (Muss ich das
> beweisen?)
>
> Kreis hat 360°, also liegen die Punkte 120°
> auseinander.
>
> Mein erster Punkt liegt auf (1/0) also 0°.
> [mm]z_2[/mm] liegt also 120° weiter mit der Länge 1.
>
> Also ist [mm]z_2[/mm] = 1 * (cos 120 + i sin 120) =
> [mm]-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i[/mm]
> [mm]z_3[/mm] ist demnach gleich
> [mm]-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i[/mm]
>
> Dies sind aber die 3 Einheitswurzeln.
>
> Dies in die Ausgangsgleichung eingesetzt ergibt 0 = 0.
Ich würde das so sagen: Diese Werte erfüllen die
Ausgangsgleichung.
Auf die Gleichung "0=0" könnte man auch aufgrund
falscher Voraussetzungen kommen.
> Wie mache ich den Rest jetzt?
Jetzt solltest du dich von der sehr einschränkenden
Bedingung [mm] z_1=1 [/mm] lösen. Nimm also [mm] z_1=e^{i*\varphi} =cos(\varphi)+i*sin(\varphi)
[/mm]
für einen beliebigen Winkel [mm] \varphi [/mm] .
Löse dich in einem weiteren Schritt von der Bedingung
|z|=1 und dann im dritten davon, dass der Mittelpunkt
des Dreiecks im Ursprung liegen muss.
Möglicherweise ginge dies alles auch in einem einzigen
Aufwasch durch den passenden Ansatz.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Do 07.04.2011 | | Autor: | hilbert |
Wie wäre denn dieser Ansatz?^^
Das Vorgehen habe ich soweit verstanden.
[mm] z_1 [/mm] ist jetzt beliebig und kann als r * [mm] (cos\varphi [/mm] + i sin [mm] \varphi) [/mm] dargestellt werden. r behalte ich jetzt vorerst noch als 1 fest.
dann ist [mm] z_2 [/mm] doch [mm] cos(\varphi+120) [/mm] + i [mm] sin(\varphi+120).
[/mm]
und [mm] z_3 [/mm] = [mm] cos(\varphi+240) [/mm] + i [mm] sin(\varphi+240).
[/mm]
Muss ich jetzt zeigen, dass diese [mm] z_1, z_2, z_3 [/mm] immernoch die Ausgangsgleichung erfüllen?
Im Folgenden gehe ich dann von r beliebig aber fest aus.
Dieses taucht jedoch auf beiden Seiten der Gleichung gleich oft auf oder nicht? Mein Problem ist eher zu zeigen, dass [mm] z_1, z_2, z_3 [/mm] die Ausgangsgleichung erfüllen.
Leider hatten wir in der Analysis wenig komplexe Zahlen und deswegen ist das noch nicht so leicht für mich.
Aber vielen, vielen Dank schonmal.
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> Wie wäre denn dieser Ansatz?^^
>
> Das Vorgehen habe ich soweit verstanden.
>
> [mm]z_1[/mm] ist jetzt beliebig und kann als r * [mm](cos\varphi[/mm] + i sin
> [mm]\varphi)[/mm] dargestellt werden. r behalte ich jetzt vorerst
> noch als 1 fest.
>
> dann ist [mm]z_2[/mm] doch [mm]cos(\varphi+120)[/mm] + i [mm]sin(\varphi+120).[/mm]
> und [mm]z_3[/mm] = [mm]cos(\varphi+240)[/mm] + i [mm]sin(\varphi+240).[/mm]
Wenn du die Winkel in Grad ausdrücken willst, ja.
> Muss ich jetzt zeigen, dass diese [mm]z_1, z_2, z_3[/mm] immernoch
> die Ausgangsgleichung erfüllen?
Ja.
Ich weiß zwar nicht, wieviel das zu tun gibt. Möglicher-
weise wäre es einfacher, mit der Polarform zu rechnen,
also [mm] z_1=e^{i*\varphi} [/mm] , [mm] z_2=e^{i*(\varphi+2*\pi/3)} [/mm] , [mm] z_3=e^{i*(\varphi+4*\pi/3)}
[/mm]
> Im Folgenden gehe ich dann von r beliebig aber fest aus.
> Dieses taucht jedoch auf beiden Seiten der Gleichung
> gleich oft auf oder nicht?
Ja, der Schritt von r=1 zu beliebigem r ist ganz einfach.
> Mein Problem ist eher zu zeigen,
> dass [mm]z_1, z_2, z_3[/mm] die Ausgangsgleichung erfüllen.
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> Leider hatten wir in der Analysis wenig komplexe Zahlen und
> deswegen ist das noch nicht so leicht für mich.
>
> Aber vielen, vielen Dank schonmal.
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> Hallo, ich habe folgende Aufgabe in der Topologie
> bekommen:
Bemerkung: mit Topologie im eigentlichen Sinn hat
diese Aufgabe meiner Ansicht nach kaum zu tun ...
"Geometrie" wäre schon viel angemessener.
> 3 komplexe Zahlen [mm]z_1,z_2,z_3[/mm] bilden ein gleichseitiges
> Dreieck [mm]\gdw z_1^2[/mm] + [mm]z_2^2[/mm] + [mm]z_3^2[/mm] = [mm]z_1z_2[/mm] + [mm]z_1z_3[/mm] +
> [mm]z_2z_3[/mm]
> Einfacher wäre es das Dreieck auf dem Einheitskreis zu
> betrachten.
Das kann man allenfalls als Vorstufe zur allgemeinen
Betrachtung machen.
> Meine Ideen bisher:
>
> Die Stecken müssen übereinstimmen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also gilt:
>
> [mm]z_2-z_1[/mm] = [mm]z_3-z_2[/mm] = [mm]z_3-z_1[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nur die Beträge der Differenzen müssen übereinstimmen,
die Differenzen selber garantiert nicht !
Mit den Differenzen selber könnte man wohl auf
andere Weise sehr viel effektiver umgehen. Ist
das Dreieck gleichseitig, gilt:
[mm] $z_3-z_1\ [/mm] =\ [mm] e^{i*\pi/3}*(z_2-z_1)\ [/mm] =\ [mm] \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*i\right)*(z_2-z_1)$ [/mm]
LG Al-Chw.
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Hier noch eine Alternative.
Komplexe Zahlen kann man als Punkte oder Vektoren in der Gaußschen Zahlenebene auffassen. Meinen Vorschlag verstehst du am besten, wenn du die einzelnen Schritte an einer Skizze nachvollziehst.
[mm]m[/mm] sei die Mitte der Strecke von [mm]z_1[/mm] nach [mm]z_2[/mm], also
[mm]m = \frac{1}{2} \left( z_1 + z_2 \right)[/mm]
Jetzt drehen wir den Vektor, der von [mm]z_1[/mm] nach [mm]z_2[/mm] zeigt, also [mm]z_2 - z_1[/mm], um 90° im Uhrzeigerseinn. Das ist komplex nichts anderes als die Multiplikation mit [mm]\operatorname{i}[/mm]. Zusätzlich strecken wir ihn mit dem Faktor [mm]\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm], der bekanntermaßen das Verhältnis von Höhe und Seite in einem gleichseitigen Dreieck angibt. Wir erhalten so den Vektor
[mm]h = \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} \left( z_2 - z_1 \right)[/mm]
Und den heften wir jetzt an [mm]m[/mm] an, in beide Richtungen. Dann erhalten wir die möglichen Lagen von [mm]z_3[/mm], so daß die Punkte [mm]z_1,z_2,z_3[/mm] ein gleichseitiges Dreieck bilden:
[mm]z_3 = m \pm h \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( z_3 - m \right)^2 = h^2[/mm]
Und jetzt [mm]m[/mm] und [mm]h[/mm] einsetzen und fleißig ausrechnen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:59 Do 07.04.2011 | | Autor: | hilbert |
Die Antwort ist natürlich richtig schön :)
Aber das wäre die Hinrichtung richtig?
Jetzt müsste ich noch zeigen, dass aus der Gleichung folgt, dass [mm] z_1,z_2,z_3 [/mm] ein gleichseitiges Dreieck beschreiben oder?
Trotzdem vielen Dank :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 09.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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